ДАНЖУА ИНТЕГРАЛ

ДАНЖУА ИНТЕГРАЛ - 1) Данжуа узкий (специальный) интеграл - обобщение понятия интеграла Лебега. Функция f(x) наз. интегрируемой в смысле узкого (специального, D*) интеграла Данжуа на [a, b], если существует такая непрерывная функция F(x) на [а, b], что F'(x) = f(x) почти всюду, и каково бы ни было совершенное множество Р, существует порция Р, на к-рой F(x) абсолютно непрерывна и

∑_n ω(F; (α_n, β_n)) < ∞,

где {(α_n, β_n)} - совокупность смежных интервалов к порции Р, ω(F; (α_n, β_n)) - колебание F(x) на (α, β); при этом

Такое обобщение интеграла Лебега ввел А. Данжуа [1]; он показал, что этот интеграл восстанавливает функцию по ее точной конечной производной. Интеграл D* эквивалентен Перрона интегралу.

2) Данжуа широкий (общий) интеграл - обобщение понятия узкого Д. и. Функция f(x) наз. интегрируемой в смысле широкого (общего, D) интеграла Данжуа на [а, b], если существует такая непрерывная функция F(x) на [а, b], что ее аппроксимативная производная почти всюду равна f(x) и каково бы ни было совершенное множество Р, существует порция Р, на к-рой F(x) абсолютно непрерывна; при этом

Введен независимо и почти одновременно А. Данжуа [2] и А. Я. Хинчиным [3], [4]. Интеграл D восстанавливает непрерывную функцию по ее точной конечной аппроксимативной производной.

3) Тотализация (T_2S)₀ представляет собой конструктивно определенный интеграл для решения задачи построения такого обобщения интеграла Лебега, к-рое позволило бы всякий всюду сходящийся тригонометрия, ряд рассматривать в качестве ряда Фурье (по этому интегралу). Введена А. Данжуа [5].

4) Тотализация (T_2S) отличается от тотализации (T_{2S/sub>)0 тем, что при определении тотализации (T2S/sub>)0 обычный предел заменен на аппроксимативный. Для тотализации (T2S/sub>) А. Данжуа [5] дал и дескриптивное определение.}

О взаимосвязях тотализации (T_{2S/sub>)0 и (T2S/sub>) с другими интегралами см. [6].}

Лит.: [1] Denjoy А., «С. r. Acad. sci.», 1912, t. 154, p. 859-62, 1075-78; [2] его же, там же, 1916, t. 162, р. 377-80; [3] Khintchine А., там же, 1916, t. 162, р. 287-91; [4] Xинчин А. Я., «Матем. сб.», 1918, т. 30, с. 543-57; [5] Denjoy A., Lecons sur le calcul des coefficients d'une série trigonométrique, pt 1-4, P., 1941-49; [6] Виноградова И. А., Скворцов В. А., в кн.: Итоги науки. Математический анализ, 1970, М., 1971, с. 65-107; [7] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.

Т. П. Лукашенко.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.