Д'АЛАМБЕРА ФОРМУЛА

Д'АЛАМБЕРА ФОРМУЛА - формула, выражающая решение задачи Коши для волнового уравнения с одной пространственной переменной. Пусть заданные функции φ(х), ψ(х) принадлежат соответственно пространствам С²(-∞, +∞) и С¹(-∞, +∞), a f(t, х) непрерывна вместе с первой производной по х в полуплоскости {t ≥ 0, -∞ < x < +∞}. Тогда классич. решение u(t, х) в {t > 0, -∞ < х < ∞} Коши задачи

(1)

(2)

выражается Д. ф.:

Если функции φ(х) и ψ(x) заданы и удовлетворяют указанным условиям гладкости на интервале {|х - х₀| < aТ }, a f(t, х) - в треугольнике

то Д. ф. дает единственное решение задачи (1), (2) в Q^T_x0. Требования на заданные функции могут быть ослаблены, если интересоваться решениями в нек-ром обобщенном смысле. Напр., из Д. ф. следует, что при f, интегрируемой по любому треугольнику Q^T_x0 локально интегрируемой ψ и непрерывной φ можно определить слабое решение задачи Коши (1),(2) как равномерный (в любом Q^T_x0) предел классич. решений (с гладкими данными) и оно также выражается Д. ф.

Формула названа по имени Ж. Д'Аламбера (J. D'Alembert, 1747).

Лит.: [1] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд.. М., 1971; [2] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

А.Н.Гущин.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.