ГЮЙГЕНСА ПРИНЦИП

ГЮЙГЕНСА ПРИНЦИП — утверждение, в силу к-рого при распространении колебаний, описываемом волновым уравнением в пространстве нечетного числа измерений, резко локализованное начальное состояние наблюдается позднее в другой точке, как явление, столь же резко ограниченное. В случае четного числа пространственных переменных Г. п. не имеет места — сигнал от локализованного начального возмущения, принятый в точке наблюдения, будет размытым. Г. п. был впервые сформулирован X. Гюйгенсом (Ch. Huygens) в 1678 (см. [1]), а затем развит А. Френелем (A. Fresnel) в 1818 при исследовании проблем дифракции.

Г. п. является следствием математич. факта, что решение волнового уравнения в точке М трехмерного пространства в момент t выражается через значения решения и его производных на произвольной замкнутой поверхности, содержащей точку М внутри, в предшествующие моменты времени. В частности, решение в точке (М, t) задачи Коши для волнового уравнения определяется начальными данными только на пересечении начального многообразия с характеристич. конусом точки (М, t) и не зависит от начальных данных внутри характеристич. конуса. Впервые строгая математич. формулировка Г. п. была дана Г. Гельмгольцем (Н. Helmholtz) в 1859 для стационарного и Г. Кирхгофом (G. Kirchhoff) в 1882 для нестационарного случаев.

Обобщением Г. п. на линейные гиперболич. уравнения 2-го порядка

(*)

являются результаты Ж. Адамара (см. [2]), в силу к-рых решение задачи Коши для уравнения (*) при четных n ≥ 4 зависит лишь от начальных данных на пересечении начального многообразия с характеристич. коноидом тогда и только тогда, когда в фундаментальном решении (*) отсутствуют логарифмич. члены. Об описании всего класса уравнений вида (*), для к-рых справедлив Г. п., см. [4].

Лит.: [1] Гюйгенс X., Трактат о свете, пер. с франц., М.—Л., 1935; [2] Hadamard J., Lectures on Cauchys problem in linear partial differential equations, New Haven—L., 1923; [3] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [4] Ибрагимов Н. X., Принцип Гюйгенса, в кн.: Некоторые проблемы математики и механики, Л., 1970.

А. Г. Свешников.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.