ГУРСА ЗАДАЧА

ГУРСА ЗАДАЧА - решение гиперболич. уравнения и системы 2-го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух характеристич. кривых, выходящих из одной точки.

Для гиперболич. уравнения

u_xy = F(x, y, u, р, q), p = u_x, q = u_y, (1)

заданного, напр., в области Ω = {(x, у) : 0 < x < y < 1}, Г. з. ставится следующим образом: найти регулярное в области Ω решение u(х, у) уравнения (1) и непрерывное в замыкании Ω̃ по краевому условию

u(0, t) = φ(t), u(t, 1) = ψ(t), φ(1) = ψ(0), 0≤ t ≤ 1, (2)

где φ и ψ — заданные непрерывно дифференцируемые функции. Если функция F непрерывна для всех (х, у) ∈ Ω̅ и для любой системы действительных значений переменных u, р, q и допускает производные F_u, F_p и F_q, к-рые при тех же условиях по абсолютной величине меньше нек-рого числа, то в области Ω существует единственное и устойчивое решение задачи (1), (2).

При исследовании Г. з. в линейном случае

Lu ≡ u_xy + аu_x + bu_y + cu = f (3)

фундаментальную роль играет функция Римана R(x, у; ξ, η), к-рая однозначно определяется как решение уравнения

R_xy - (aR)_x - (bR)_y + cR = 0,

удовлетворяющее на характеристиках x = ξ и у = η условию

где (ξ, η) — произвольная точка из области Ω задания уравнения (3). Если функции а_x, b_y и с непрерывны, то функция Римана существует и по переменным ξ, η является решением уравнения LR = 0.

Решение Г. з. (2) для уравнения (3) дается так наз. формулой Римана. При φ = -ψ = 0 она имеет вид:

Из формулы Римана следует, что значение u(х₀, у₀) решения Г. з. в точке (х₀, у₀) ∈ Ω зависит лишь от значения заданных функций в характеристич. четырехугольнике 0 ≤ x ≤ х₀, 0 ≤ y ≤ у₀. При f ≡ 0 это значение зависит лишь от значения функции ψ(х) и φ(у)в промежутках 0 ≤ х ≤ x₀ и 0 ≤ y ≤ y₀ соответственно, а при a = b = c = f = 0 функция

u(x₀, y₀) = φ(y₀) + ψ(x₀) - φ(0).

Метод получения явных формул решения Г. з. с помощью функции Римана известен под названием метода Римана. Этот метод распространен на довольно широкий класс гиперболич. систем 1-го и 2-го порядков. В частности, на систему вида (3), где a, b и с — квадратные симметрич. матрицы порядка n, а f и u — векторы с n компонентами.

Непосредственным обобщением Г. з. является задача Дарбу—Пикара, к-рая состоит в определении решения гиперболич. уравнения и системы 2-го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух гладких монотонных кривых γ и δ, выходящих из одной точки А и расположенных в характеристич. угле с вершиной в точке А. В частности, γ и δ могут частично или полностью совпадать со сторонами этого угла. Эта задача исследована для уравнения вида (1).

Г. з. иногда наз. задачей Дарбу. Под Г. з. для гиперболич. уравнений 2-го порядка с несколькими независимыми переменными часто понимают характеристич. задачу, т. е. задачу отыскания решения по заданным его значениям на характеристич. коноиде (см. Дифференциальные уравнения с частными производными; задача с данными на характеристиках).

Г. з. названа по имени Э. Гурса (Е. Goursat), подробно ее исследовавшего.

Лит.: [1] Гурса Э., Курс математического анализа, пер. с франц., т. 3, ч. 1, М.—Л., 1933; [2] Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959; [3] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [4] Трикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, пер. с итал., М., 1957.

А. М. Нахушев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.