ГРУППОИД

ГРУППОИД - универсальная алгебра с одной бинарной операцией. Г.- самый широкий класс таких алгебр; группы, полугруппы, квазигруппы - все это Г. специального вида. Важным понятием для Г. является понятие изотопии операций. Пусть на множестве G определены две бинарные операции, обозначаемые (⋅) и (○), они изотопны, если существуют такие три взаимно однозначных отображения α, β и γ множества G на себя, что а ⋅ b = γ^-1(αа ○ βb) для любых a, b ∈ G. Г., изотопный квазигруппе, сам является квазигруппой; Г. с единицей, изотопный группе, изоморфен этой группе. Поэтому нажатием изотопии в теории групп не пользуются, для групп изотопия совпадает с изоморфизмом.

Группоид с сокращением - это Г., в к-ром любое из равенств аb = ас, bа = са влечет b = с (а, b, с - элементы Г.). Каждый Г. с сокращением вложим в квазигруппу. Гомоморфный образ квазигруппы -группоид с делением, т. е. Г.,в к-ром уравнения ах = b и уа = b разрешимы (но не обязательно однозначно).

Множество с одной частичной (т. е. определенной не для всяких пар элементов) бинарной операцией наз. частичным группоидом. Каждый частичный подгруппоид свободного частичного Г. свободен.

Вместо термина «Г.» употребляется иногда термин «оператив».

Лит.: [1] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [2] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Воruvkа О., Grundlagen der Gruppoidund Gruppentheorie, В., 1960; [4] Вruсk R. Н., A survey of binary systems, В., [а. о.], 1971.

В. Д. Белоусов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.