ГРУППОВАЯ СХЕМА

ГРУППОВАЯ СХЕМА, схема групп,- обобщение понятия алгебраич. группы. Пусть (Sch/S) - категория схем над базисной схемой S; групповой объект этой категории наз. групповой схемой над схемой S (а также групповой S-схемой, или S-cхемой групп). Для Г. с. G над S функтор точек h_G: X → Hom_Sch/S (X, G) = G(X) является контравариантным функтором из категории (Sch/S) в категорию групп (Gr). Категория (S - Gr) групповых схем над S определяется как полная подкатегория категории таких функторов, образованная представимыми функторами.

Примеры. 1) Алгебраич. группа над полем k есть приведенная Г. с. конечного типа над полем k. (Иногда алгебраич. группой наз. произвольную Г. с. конечного типа над полем.)

2) Функтор, сопоставляющий S-схеме X аддитивную (соответственно мультипликативную) группу кольца сечений структурного пучка Г(X, О_X) представим. Соответствующая Г. с. над S наз. аддитивной (соответственно мультипликативной) группой и обозначается G_a,S(соответственно G_m,S). Для любой S-схемы S'

G_a,S × S' ≃ G_a,S', G_m,S × _SS' ≃ G_m,S'.

3) Каждая абстрактная группа Г определяет Г. с. (Г)_S - прямую сумму семейства схем (S_g)_g∈G;, каждая из к-рых изоморфна S. Соответствующий функтор сопоставляет S-схеме X прямую сумму Г^π₀(X), где π₀(X) - множество связных компонент схемы X.

Если G - Г. с. над S, то для любой точки s ∈ S слой G_s = G ⊗_S k(s) является Г. с. над полем вычетов k(s) этой точки. В частности, каждую Г. с. конечного типа над схемой S можно рассматривать как семейство алгебраич. групп, параметризованное базой S. На Г. с. распространяется терминология теории схем; так, говорят о гладких, плоских, конечных, собственных Г. с.

Для любой Г. с. G соответствующая приведенная схема G_red также есть Г. с, для к-рой каноническое замкнутое вложение G_red → G есть морфизм Г. с. Каждая приведенная Г. с. локально конечного типа над полем является гладкой. Каждая Г. с. локально конечного типа над полем нулевой характеристики приведена (теорема Картье).

Многие понятия и результаты теории алгебраич. групп имеют свои аналоги для Г. с. Напр., имеется аналог структурной теории Бореля-Шевалле для аффинных алгебраич. групп [5], развита когомологич. теория расширений Г. с. и однородных пространств над Г. с. (см. [2], [5]). С другой стороны, многие проблемы и результаты специфичны для теории Г. с. и связаны с наличием нильпотентных элементов в структурном пучке как базисной, так и самой Г. с. Так, изучаются инфинитезимальные и формальные деформации Г. с. [4], вопросы подъема в нулевую характеристику, формальные пополнения Г. с. (см. Формальная группа). Г. с. естественным образом возникают при изучении алгебраич. групп над полем положительной характеристики (см. р-делимая группа).

Понятие аффинной Г. с. над базисной аффинной схемой S = Spec(B) двойственно понятию коммутативной Хопфа алгебры, именно, если G = Spec(A) такая Г. с, то А является коммутативной алгеброй Хопфа.

См. также Коммутативная групповая схема, Конечная групповая схема.

Лит.: [1] Тейт Дж., Оорт Ф., «Математика», 1972, т. 16, № 1, с. 165-83; [2] Demazure М., Gabriel Р., Groupes algébriques, t. 1, P.-Amst., 1970; [3] Оort F., Commutative group schemes, В.-Hdlb.-N.Y., 1966; [4] его же, «Compositio math.», 1971, v. 23, p. 265-96; [5] Schemas en groupes, t. 1-3, В.-Hdlb.-N.Y., 1970.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.