ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА

ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА локально бикомпактной группы - топологическая алгебра с инволюцией, образованная функциями на группе и такая, что в ней умножение определяется как свертка. Пусть банахово пространство L¹(G) построено с помощью левоинвариантной Хаара меры dg на локально бикомпактной топологич. группе G и пусть в L¹(G) умножение определяется как свертка (f₁, f₂) → f₁ * f₂ а инволюция f → f^* - по формуле f^*(g) = f̅(g^-1)Δ(g), где Δ - модуль группы G. Полученная банахова алгебра с инволюцией наз. групповой алгеброй группы G и обозначается также через L¹(G). Если G - конечная группа, то определение Г. а. совпадает с обычным алгебраич. определением Г. а. над полем комплексных чисел.

Понятие Г. а. позволяет применять общие методы теории банаховых алгебр в задачах теории групп и, в частности, в абстрактном гармонич. анализе. Свойства Г. а. как банаховой алгебры отражают свойства топологич. группы: так, Г. а. содержит единичный элемент тогда и только тогда, когда группа дискретна; Г. а. является прямой суммой (топологической) своих конечномерных минимальных двусторонних идеалов тогда и только тогда, когда группа бикомпактна. Исключительно важную роль играет понятие Г. а. в теории унитарных представлений группы: между непрерывными унитарными представлениями топологич. группы G и невырожденными симметричными представлениями Г. a. L¹(G) существует взаимно однозначное соответствие, сопоставляющее непрерывному унитарному представлению л группы G в гильбертовом пространстве Н представление Г. a. L¹(G), определяемое формулой

f → ∫_G f(g)π(g)dg, f ∈ L¹(G).

Г. а. локально бикомпактных групп обладают рядом общих свойств. Именно, любая Г. а. содержит аппроксимативную единицу (см. Банахова алгебра), образованную семейством характеристич. функций окрестностей единичного элемента, упорядоченных по включению (в сторону убывания); поэтому для Г. а. можно установить соответствие между положительными функционалами на Г. а. и ее симметричными представлениями. Любая Г. а. является полупростой алгеброй и имеет симметричное точное представление. В частности, представление Г. а., определяемое регулярным представлением группы, является точным. Замкнутые левые идеалы L¹(G) суть замкнутые векторные подпространства L¹(G), инвариантные относительно левого сдвига.

Иногда групповой алгеброй наз. банахова алгебра с инволюцией, полученная из Г. a. L¹(G) присоединением единицы. Существует ряд других алгебр с инволюцией, к-рые иногда наз. групповыми алгебрами. К их числу относятся, в частности: алгебра мер М(G) относительно свертки; алгебры относительно обычного умножения, напр. алгебра L^∞(G) существенно ограниченных измеримых но мере Хаара функций, алгебра Р(G) комплексных линейных комбинаций непрерывных положительно определенных функций. Множество P¹(G) = P(G) ∩ L¹(G) и совокупность K(G) непрерывных финитных функций образуют алгебру и относительно свертки, и относительно обычного умножения. Имеет место следующая таблица, в к-рой стрелки означают включения:

Лит.: [1] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [2] Guichardet A., Analyse harmonique commutative, P., 1968.

А. И. Штерн.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.