ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА

ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА группы G над полем K - ассоциативная алгебра над полем K, элементами к-рой являются всевозможные формальные конечные суммы вида ∑_g∈G α_gg, g ∈ G, α_g ∈ K, а операции определяются формулами:

∑_g∈Gα_gg + ∑_g∈Gβ_gg = ∑_g∈G(α_g + β_g)g, (∑_g∈Gα_gg) (∑_g∈Gβ_gg) = ∑_h∈G(∑_xy=h,x,y∈G(α_xβ_y)h)

(в правой части второй формулы сумма также конечна). Эта алгебра обозначается KG; элементы группы G образуют базис алгебры KG; умножение базисных элементов в Г. а. индуцируется групповым умножением. Алгебра KG изоморфна алгебре функций, определяемых на группе G со значениями в поле К и принимающих лишь конечное число ненулевых значений; умножение в этой алгебре - свертка функций.

Эту же конструкцию можно рассмотреть и для случая, когда K - ассоциативное кольцо. Таким образом приходят к понятию группового кольца группы G над кольцом K; в случае, когда К коммутативно и с единицей, групповое кольцо наз. часто также групповой алгеброй группы над кольцом.

Г. а. были введены Г. Фробениусом (G. Frobenius) и И. Шуром [1] в связи с изучением представлений групп, поскольку рассмотрение представлений группы G над полем K равносильно изучению модулей над Г. а. KG. Так, теорема Машке на языке групповых алгебр формулируется следующим образом: если G - конечная группа, а K - поле, то Г. а. KG полупроста тогда н только тогда, когда порядок группы G не делится на характеристику поля K.

В начале 50-х гг. 20 в. появились исследования по Г. а. бесконечных групп в связи с применением целочисленных Г. а. в алгебраич. топологии, а также с использованием методов теории Г. а. при изучении строения группы. Этому способствовал также ряд проблем, поставленных для Г. а., наиболее известная из них: содержит ли делители нуля Г. а. группы без кручения? (проблема Капланского).

Некоторые направления исследований по групповым кольцам и алгебрам.

Радикал и полупростота. Групповое кольцо обладает ненулевым нилыютентным идеалом тогда и только тогда, когда либо К имеет ненулевой нильпотентный идеал, либо порядок нек-рой конечной нормальной подгруппы из G делится на порядок элемента из аддитивной группы кольца К. Если К - кольцо без нильидеалов и порядок любого элемента из G не делится на порядок ни одного элемента из аддитивной группы К, то KG без нильидеалов. Г. а. KG над полем характеристики 0 полупроста в смысле Джекобсона радикала, если К содержит трансцендентный элемент над полем рациональных чисел.

Вложение Г. а. в тела. Г. а. упорядоченной группы вложима в тело (теорема Мальцева-Неймана). Существует предположение, что это же верно для Г. а. всякой правоупорядоченной группы.

Связь теоретико-кольцевых свойств группового кольца KG со строением группы G и кольца K. Напр., KG первично тогда и только тогда, когда кольцо К первично и группа G не имеет конечных нормальных подгрупп.

Проблема изоморфизма: если групповые кольца KG и КН изоморфны как K-алгебры, то какая связь существует между строением групп G и Н, в частности, когда G и Н изоморфны? Выяснилось, что однозначно определяет группу групповое кольцо периодической разрешимой группы класса 2 над кольцом целых чисел и групповое кольцо счетной абелевой р-группы над кольцом характеристики р.

Рассматривались различные обобщения понятия Г. а., напр. понятие скрещенного произведения группы и кольца, для к-рого остаются справедливыми многие свойства Г. а.

Лит.: [1] Schur I., «Sitzber. Preuss. Akad. Wiss.», 1905, S. 406-32; [2] Кэртис Ч., Pайнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [3] Passman D. S., Infinite group rings, N. Y., 1971; [4] Современные проблемы математики, т. 2, М., 1973, с. 5-118; [5] Бовди А. А., Групповые кольца, Ужгород, 1974; см. также лит. при статье Представления групп.

А. А. Бовди.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.