ГРУППА С УСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ

ГРУППА С УСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ - группа, элементы или подгруппы к-рой удовлетворяют тому или иному условию конечности. Под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существуют бесконечные группы, к-рые им не обладают. Наиболее важными в теоретико-групповых исследованиях являются следующие условия конечности: конечность убывающих цепей подгрупп (условие минимальности для подгрупп, см. Артинова группа), конечность возрастающих цепей подгрупп (условие максимальности для подгрупп, см. Нётерова группа), конечная порожденность, конечность порядков элементов (периодичность), конечность конечно порожденных подгрупп (локальная конечность, см. Локально конечная группа), конечность ранга, конечность классов сопряженных элементов.

Систематич. изучение Г. с у. к. началось в 1939-40 (см. [1]) с исследования локально нильпотентных и локально разрешимых групп с условием минимальности для подгрупп, в результате к-рого было установлено, что бесконечные группы такого рода являются конечными расширениями прямых произведений конечного числа квазициклич. групп. Вопрос о справедливости утверждения этой теоремы для произвольной бесконечной группы с условием минимальности для подгрупп в общем случае пока (1977) не решен. В предположении локальной конечности он решен положительно [5]. Изучение групп с условием минимальности обогатило теорию групп важными результатами. Само условие минимальности подвергалось при этом существенным ограничениям: налагалось не на все подгруппы, а лишь на подгруппы, удовлетворяющие тем или иным дополнительным требованиям (инвариантность, абелевость, конечность индекса, примарность и пр.). Исследование групп с условием максимальности оказалось менее продуктивным, чем исследование групп с условием минимальности. Разрешимые группы с условием максимальности - это полициклич. группы. В разрешимых группах условие максимальности для подгрупп эквивалентно условию максимальности для абелевых подгрупп [4]. Аналогичный результат установлен и для условия минимальности в локально разрешимых группах. Условие максимальности для подгрупп эквивалентно условию конечной порожденности группы и всех ее подгрупп. Для нильпотентных групп оно эквивалентно конечной порожденности самой группы.

Группа имеет конечный ранг, если минимальное число образующих элементов в каждой ее конечно порожденной подгруппе не превосходит нек-рого фиксированного числа. Это условие конечности было широко использовано при изучении разрешимых групп и локально нильпотентных групп. Было установлено, в частности, что если все абелевы подгруппы локально нильпотентной группы без кручения имеют конечный ранг, то конечный ранг имеет и вся группа [4].

Ряд существенных результатов дало исследование групп с конечными классами сопряженных элементов. Наиболее изученными среди них оказались слойно конечные группы, т. е. группы с конечными множествами элементов каждого порядка. Их изучение доведено по существу до полного описания их строения. Из этого описания вытекает, в частности, что класс слойно конечных групп совпадает с классом локально нормальных групп, удовлетворяющих условию минимальности для примарных подгрупп.

Лит.: [1] Черников С. Н., «Успехи матем. наук», 1959, т. 14, № 5(89), с. 45-96; [2] Robinson D. J. S., Finitenessconditions and generalized soluble groups, p. 1, 2, B.-Heid.-N. Y., 1972; [3] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [4] Мальцев А. И., «Матем. сб.», 1951, т. 28 (70), № 3, с. 567-88; [5] Шунков В. П., «Алгебра и логика». 1970, т. 9, № 5, с. 579-615.

С. Н. Черников.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.