ГРУППА С ОДНОЗНАЧНЫМ ИЗВЛЕЧЕНИЕМ КОРНЯ

ГРУППА С ОДНОЗНАЧНЫМ ИЗВЛЕЧЕНИЕМ КОРНЯ, R-группа - группа, у к-рой из равенства хⁿ = уⁿ следует х = у, где х, у - любые элементы группы, n - любое натуральное число. Группа G тогда и только тогда является R-группой, когда она без кручения и такова, что из хⁿу = ухⁿ следует ху = ух для любых х, у ∈ G и натурального числа n. R-группа распадается в теоретико-множественное объединение пересекающихся по единице абелевых групп ранга 1. Группа тогда и только тогда есть R-группа, когда она без кручения и ее факторгруппа по центру есть R-группа. Подгруппа R-группы, прямое и полное прямое произведения R-групп суть R-группы. Для класса R-групп справедлива локальная теорема: если всякая конечно порожденная подгруппа группы G есть R-группа, то и сама группа G является R-группой. Свободные группы, свободные разрешимые группы, а также локально нильпотентные группы без кручения являются R-группами. Класс всех полных R-групп образует многообразие алгебр с операциями умножения и извлечения корня (D-группы).

Лит.: [1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.

В. М. Копытов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.