p-ГРУППА

p-ГРУППА - группа, каждый неединичный элемент к-рой есть р-элемент, т. е. элемент, удовлетворяющий уравнению х^зn = 1; здесь р - фиксированное одно и то же для всех элементов группы простое число, а n - натуральное число, вообще говоря, свое для каждого элемента группы. В том же смысле вместо буквы р употребляют другие буквы, напр. q, r, s, но в таком случае их употребление особо оговаривают. Если р -конкретное простое число, напр. 2, 3, 5, ..., то говорят о 2-группах, 3-группах и т. д. Иногда р-Г. наз. примарными группами. ОбобщениехМ р-Г. является π-группа (π - заданное множество простых чисел), определяемая как группа, каждый неединичный элемент к-рой есть π-элемент, т. е. элемент, удовлетворяющий условию х^m = 1, где m - натуральное число, все простые делители к-рого принадлежат π. Реже в том же смысле пишут П-группа, σ-группа. τ-группа. Если N - множество всех простых чисел, то часто обозначают p' = N\p, π' = N\π и говорят о р'- и π'-группах, о р'- и π'-элементах. Подгруппа данной группы, являющаяся р-Г. (π-группой), наз. р-подгруппой (π-подгруппой).

Значительная часть работ в теории конечных групп связана с задачей описания произвольных конечных групп через конечные р-Г. и простых конечных групп через 2-группы (см. [1], гл. IV и VI и [2]). Поэтому наиболее интенсивно развиваются направления, связанные с описанием конечных р-Г. по их абелевым подгруппам, либо с их описанием посредством р-автомор-фнзмов.

Бесконечные (неабелевы) р-Г. менее изучены. Ниже приводится небольшое число наиболее важных результатов, грубо разделенных на три части.

1) О результатах, относящихся к решению проблем Бернсайда, см. Бернсайда проблема.

2) Локально конечная р-Г. непроста (см. [3], с. 290).

3) Примеры, показывающие отличие теории конечных р-Г. от общей теории р-Г. а) Существует локально конечная р-Г., к-рая не имеет неедининных абелевых нормальных подгрупп (см. [3], с. 294). б) Существует локально конечная р-Г.. совпадающая со своим коммутантом (см. [3], с. 296).

См. также Группа с условием конечности. Лит.: [1] Huppert В., Endliche Gruppen, В., 1967; [2] Gorenstein D., Finite Groups, N. Y., 1968; [3] Шмидт О. Ю., Избр. тр. Математика, М., 1959; [4] Черников С. Н., «Успехи матем. наук», 1959, т. 14, в. 5, с. 45-96; [5] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 123-60; [6] Серр Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. с франц., М., 1968.

Ю. М. Горчаков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.