ГРУППА

ГРУППА - один из основных типов алгебраических систем. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства алгебраич. операций, наиболее часто встречающихся в математике и ее приложениях (примеры таких операций - умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. д.). Понятие Г. явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраич. систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математич. дисциплин на рубеже 19-20 вв., в результате к-рой понятие математич. системы (=структуры) стало основным в математике.

Определение. Группой наз. произвольное множество G с одной бинарной операцией, удовлетворяющей следующим аксиомам (если операцию записывать как умножение):

1) операция ассоциативна, т.е. (ab)c = a(bc) для любых а, b, с из G;

2) операция гарантирует единицу, т. е. в G существует такой элемент е, наз. единицей, что ае = еа = а для любого a из G;

3) операция гарантирует обратные элементы, т. е. для любого а из G существует в G такой элемент х, наз. обратным к а, что ах = ха = е.

Иногда вместо системы аксиом 1) - 3) пользуются равносильной системой из двух аксиом: 1) и 4) операция гарантирует левые и правые частные, т. е. для любых двух элементов а, b из G существуют в G такие элементы х, у, наз. левым частным и правым частным от деления b на а, что ах = b, уа = b.

Из определений следует, что единица в любой Г. единственна, для любого элемента из Г. обратный к нему элемент единствен и для любых элементов а, b из Г. оба частных от деления b на а единственны.

Исторические замечания. Истоки понятия Г. обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из к-рых - теория решения алгебраич. уравнений в радикалах. В «Мемуаре об алгебраическом решении уравнений» Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1771) и одной работе А. Вандермонда (A. Vandermonde, 1771) впервые для нужд этой теории были применены подстановки. Особо важен для теории Г. «Мемуар» Ж. Лагранжа, где в терминах многочленов по существу получено разложение симметрической Г. подстановок на смежные классы по подгруппе. Глубокие связи между свойствами Г. подстановок и свойствами уравнений были указаны Н. Абелем (N. Abel, 1824) и Э. Галуа (Е. Galois, 1830). Вместе с тем Э. Галуа принадлежат конкретные достижения в теории Г.: открытие роли нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление простоты знакопеременных Г. степени n ≥ 5 и пр. Важную роль в систематизации и развитии этого направления алгебры сыграл трактат К. Жордана (С. Jordan, 1870) о Г. подстановок.

Независимо идея Г. возникла в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешел на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким «изучением геометрического родства» много занимался А. Мёбиус (A. Möbius), исследовавший конгруэнтность, подобие, аффинность, коллинеацию и, наконец, «элементарные виды родства» геометрич. фигур, т. е. по существу топологич. эквивалентность. На более сознательном уровне классификация геометрий была дана А. Кэли (A. Cayley, 1854 и далее) и другими представителями английской школы теории инвариантов: А. Кэли явно пользовался термином «Г.», систематически использовал таблицы умножения, наз. теперь его именем (см. Кэли таблица), он доказал представимость всякой конечной Г. подстановками, пришел к пониманию Г. как системы, заданной порождающими элементами и определяющими соотношениями. Заключительным этапом на этом пути явилась «Эрлангенская программа» Ф. Клейна (F. Klein, 1872), положившая в основу классификации геометрий понятие Г. преобразований.

Третий источник понятия Г.- теория чисел. Уже Л. Эйлер (L. Euler, 1761), изучая «вычеты, остающиеся при делении степеней», по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение Г. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс (С. Gauss, 1801) в «Арифметических исследованиях», занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных квадратичных форм», К. Гаусс по существу доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву Г.

Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых идей, использовавшихся долгое время независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия Г. Так, С. Ли (S. Lie, 1895) уже определял Г. как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, к-рая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы. Изучение Г. без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом в 1916 книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп».

Примеры групп. Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие роль Г. в алгебре, в других разделах математики и в естествознании.

а) Группы Галуа. Пусть К - конечное, сепарабельное и нормальное расширение поля k. Автоморфизмы поля K, оставляющие элементы подполя к неподвижными, образуют Г. Gal(K/k) относительно их последовательного выполнения, наз. Галуа группой расширения К/k. Основная теорема Галуа теории гласит: отображение, сопоставляющее каждой подгруппе Г. Gal (К/k) ее неподвижное подполе, является антиизоморфизмом решетки подгрупп Г. Gal(K/k) на решетку промежуточных подполей, заключенных между k и K.

Приложение к вопросу о разрешимости уравнений в радикалах осуществляется следующим образом. Пусть f - многочлен от х над полем k, К - поле разложения f. Группа Gal(K/k) наз. группой Галуа многочлена f над полем k (ее элементы естественным образом изображаются подстановками корней уравнения f(x) = 0). Оказывается, уравнение f(x) = 0 тогда и только тогда решается в радикалах, когда группа Галуа многочлена f разрешима (см. Разрешимая группа).

В этом и других аналогичных примерах Г. возникают в форме Г. автоморфизмов математич. структур. Это не только одна из важнейших форм, но и вообще присущая только Г. форма применения, обеспечивающая им особое положение в алгебре. Дело в том, что автоморфизмы произвольных структур, говоря словами Галуа, всегда можно «группировать», тогда как определить на множестве автоморфизмов строение кольца или какой-нибудь другой полезной структуры удается лишь в специальных случаях.

б) Гомологические группы. Ведущей идеей теории гомологии является применение теории (абелевых) Г. к изучению категории топологич. пространств. Каждому пространству X сопоставляется семейство абелевых Г. H₀(Х), Н₁(Х), ... и каждому непрерывному отображению f : X → Y - семейство гомоморфизмов f_n : Н_n(X) → H_n(Y), n = 0, 1, 2, ... . Изучение гомологич. Г. Н_n(Х) (см. Гомологии группа) и их гомоморфизмов средствами теории Г. часто позволяет решить исходную топологич. задачу. Типичный пример - задача распространения: можно ли отображение g : A → Y, определенное на подпространстве А пространства X, распространить на все X, т. е. представить g как суперпозицию вложения h : А → Х и нек-рого непрерывного отображения f : X → Y? Если да, то в гомологиях должно быть g_n = f_n ⋅ h_n, т. е. каждый гомоморфизм g_n : H_n(A) → H_n(Y) можно пропустить через Н_n(Х) с заданным множителем h_n. Если эта алгебраич. задача неразрешима, то и исходная топологич. задача неразрешима. Этим способом можно получать важные положительные результаты.

Гомологич. Г. иллюстрируют другой типичный путь применения Г.- путь изучения неалгебраич. объектов с помощью алгебраич. систем, отражающих их поведение. Именно таков основной метод алгебраич. топологии. Аналогичный метод и, в частности, гомологич. Г. успешно используются и для изучения самих алгебраич. систем - Г., колец и нр. (напр., в теории расширений Г.).

в) Группы симметрии. Понятие Г. позволяет в тояных терминах охарактеризовать симметричность той или иной геометрич. фигуры. Именно, каждой фигуре можно сопоставить совокупность всех преобразований пространства, совмещающих данную фигуру с нею самой. Эта совокупность будет Г. относительно последовательного выполнения преобразований. Она и характеризует симметричность фигуры. Именно с таких позиций Е. С. Федоров в 1890 решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Существует всего 17 плоских федоровских Г., они были найдены непосредственно; пространственных федоровских Г. - 230, и только теория Г. позволила провести их исчерпывающую классификацию. Это был исторически первый случай применения теории Г. непосредственно в естествознании.

Аналогичную роль играет теория Г. в физике. Так, в квантовой механике состояние физич. системы изображается точкой бесконечномерного векторного пространства. Если физич. система переходит из одного состояния в другое, то изображающая ее точка подвергается нек-рому линейному преобразованию. Соображения симметрии и теория представлений Г. линейными преобразованиями имеют здесь первостепенное значение.

Указанные примеры иллюстрируют классифицирующую роль теории Г. всюду, где речь идет о симметрии. Изучая симметрию, по существу имеют дело с автоморфизмами систем (не обязательно математических), поэтому теория Г. незаменима в этих вопросах.

Важнейшие классы групп. «Конечная цель» теории Г.- описать все групповые операции или, иначе, все Г. с точностью до изоморфизма. Теория Г. распадается на ряд разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую операцию или внесением в Г. дополнительных структур, связанных определенным образом с групповой операцией.

Старейшей и интенсивно развивающейся ветвью теории Г. является теория конечных групп. Важное место в ней занимает отыскание конечных простых Г., к к-рым относятся многие классические Г. матриц над конечными полями, а также «спорадические» простые конечные Г. (группы Матьё и др.). На другом полюсе находятся конечные разрешимые Г., в них обычно интересуются специфическими системами подгрупп (холловых, картеровых и пр.), во многом определяющих строение самой Г. Часто конечные Г. возникают в форме Г. подстановок или матриц над конечными полями; изучению представлений матрицами и подстановками посвящено большое самостоятельное направление теории конечных Г.

Типичным методом исследования бесконечных Г. является наложение на них того или иного условия конечности. Здесь наибольшее внимание привлекают периодические группы, локально конечные Г., Г. с условием максимальности для подгрупп (нётеровы группы), Г. с условием минимальности для подгрупп (артиновы группы), конечно порожденные группы, Г. конечного ранга (см. Ранг группы), финитно аппроксимируемые группы.

При изучении абелевых групп важную роль играют полные абелевы Г., абелевы Г. без кручения и периодические абелевы Г., а в них - сервантные подгруппы и примерные подгруппы. Исследование произвольной абелевой Г. во многом сводится к теориям указанных классов с помощью теории расширений абелевых Г., развиваемой в основном гомологич. методами (см. Расширение группы).

Более широкими по отношению к классу абелевых Г. являются классы нильпотентных групп и разрешимых групп, теория к-рых также достаточно развита. Из обобщений нильпотентности и разрешимости наиболее употребительны локальная нильпотентность, локальная разрешимость, нормализаторное условие, а также многочисленные свойства, определяемые наличием в Г. субнормальных систем (см. Подгрупп система) того или иного типа. Заметную роль играют специальные классы разрешимых и нильпотентных Г.: сверхразрешимые группы, полициклические группы.

Важной частью теории Г. является теория Г. преобразований (см. Преобразований группа), в том числе теория Г. подстановок (см. Подстановок группа) и теория линейных групп. Ряд важных классов Г. определяется внесением в Г. дополнительных структур, согласованных с групповой операцией; сюда относятся топологические группы, Ли группы, алгебраические группы, упорядоченные группы. Из других классов Г. следует отметить Г., свободные в том или ином многообразии (см. Свободная группа), полные группы, Г., аппроксимируемые в том или ином смысле, Г., определяемые условиями в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений, Г., выделяемые условиями на решетку подгрупп.

Лит.: [1] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, М., 1972; [2] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [3] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; [4] Шмидт О. Ю., Избр. тр. Математика, М., 1959, с. 17-70; [5] Wussing H., Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes, В., 1969; [6] Федоров E. С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949, с. 111-258; [7] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М., 1969.

М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.