Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




ГРУДЫ И ПОЛУГРУДЫ

ГРУДЫ И ПОЛУГРУДЫ - алгебры с одной тернарной операцией, удовлетворяющей нек-рым тождествам. Груды (г.) определяются тождествами:

[[x1x2x3]x4x5] = [x1x2[34x5]] , [x1x1x2] = x2, [x1x2x2] = x1,

а полугруды (п.) - тождествами:

[[x1x2x3]x4x5] = [x1[x4x3x2]x5] = [x1x2[x3x4x5]].

Всякая груда является полугрудой.

Если в множестве Ф(A, В) всех взаимно однозначных отображений множества A на множество В определить тернарную операцию, ставя в соответствие упорядоченной тройке отображений φ1, φ2, φ3 отображение, являющееся суперпозицией φ1, φ-12, φ3, то Ф(A, В) становится г. Любая г. изоморфна нек-рой г. взаимно однозначных отображений. Если в произвольной группе G ввести тернарную операцию, полагая [g1g2g3] = g1g-12g3 то также получится г. (груда, ассоциированная с данной группой). Понятие г. было введено при рассмотрении вышеуказанной тернарной операции в абелевой группе (см. [1]). Г. изучались и с абстрактной точки зрения (см. [2], [3]). В частности, Р. Бэр доказал [2], что если в г. S фиксировать произвольный элемент s0, то операции, определяемые равенствами s1s2 = [s1s0s2], s-1 = [s0ss0] задают на S структуру группы, в к-рой s0 является единицей; при этом г., ассоциированная с этой группой, совпадает с исходной г., а группы, получаемые из данной г. фиксированием различных ее элементов, изоморфны. Другими словами, многообразие всех г. эквивалентно многообразию всех групп.

Совокупность ℬ(A, В) всех бинарных отношений между элементами множеств А и В является п. относительно тройного умножения: [ρ1ρ2ρ3] = ρ1ρ-12ρ3. Множество всех обратимых частичных отображений А в В также замкнуто относительно тройного умножения и является обобщенной грудой (см. [4]), то есть п. с тождествами:

[x1x1[x2x2x3]] = [x2x2[x1x1x3]], [[x1x2x2]x3x3] = [[x1x3x3]x2x2].

Обобщенные г. находят приложение в основаниях дифференциальной геометрии при рассмотрении координатных атласов (см. [5]).

П. тесно связаны с полугруппами с инволюцией. Если на полугруппе S задана инволюция θ, являющаяся антиавтоморфизмом, то тернарная операция [s1s2s3] = s1θ(s2)s3 превращает S в п. Всякая п. изоморфна подполугруде нек-рой полугруппы с инволюцией (см. [4]).

Лит.: [1] Рrufеr Н., «Math. Z.», 1924, Bd 20, S. 165-87; [2] Baer R., «J. reine und angew. Math.», 1929, Bd 160, S. 199-207; [3] Certaine J., «Bull. Amer. Math. Soc.», 1943, v. 49, p. 869-77; [4] Вагнер В. В., «Матем. сб.», 1953, т. 32, № 3, с. 545-632; [5] его же, Основания дифференциальной геометрии и современная алгебра, в кн.: Тр. 4 Всесоюзного матем. съезда, т. 1, Л., 1963, с. 17-29; [6] Глускин Л. М., в сб.: Теория полугрупп и ее приложения, т. 1, Саратов, 1965, с. 179-97, 198-228.

В. Н. Салий.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru