ГРУБАЯ СИСТЕМА

ГРУБАЯ СИСТЕМА, структурно устойчивая (динамическая) система,- гладкая динамическая система, обладающая свойством: для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что при любом ее возмущении, отстоящем от нее в С¹-метрике не более чем на δ, существует гомеоморфизм фазового пространства, к-рый сдвигает точки не более чем на ε и переводит траектории невозмущенной системы в траектории возмущенной. Формально определение предполагает заданной нек-рую риманову метрику на фазовом многообразии. Фактически о Г. с. обычно говорят либо когда фазовое многообразие замкнуто, либо когда траектории входят в нек-рую компактную область G с гладкой границей, не касаясь последней, причем возмущение и гомеоморфизм рассматривают только на G. Ввиду компактности выбор метрики не играет роли.

Таким образом, при малом (в смысле С¹) возмущении Г. с. получается система, эквивалентная исходной по всем своим топологич. свойствам (однако приведенное определение содержит еще дополнительное требование, чтобы эта эквивалентность осуществлялась посредством гомеоморфизма, близкого к тождественному). Иногда термины «грубость» и «(структурная) устойчивость» употребляют в более широком смысле, напр. имея в виду только сохранение при малых возмущениях того или иного свойства системы (в этом случае лучше говорить о грубости данного свойства). См. также Локальная грубость.

Г. с. были введены А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным [1]. При малой размерности фазового многообразия (единица для дискретного времени и единица или два для непрерывного) Г. с. допускают простую характеристику в терминах качественных свойств поведения траекторий (это - так наз. Морса-Смейла системы) и образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех динамич. систем, снабженном С¹-топологией (см. [1], [2]; таким образом, системы с более сложным и более чувствительным к малым возмущениям поведением траекторий можно в этом случае рассматривать как исключительные). В больших размерностях ни один из этих фактов не имеет места, как установил С. Смейл (S. Smale, [3]). Он высказал гипотезу, что, несмотря на все эти усложнения, можно и в общем случае сформулировать необходимые и достаточные условия грубости в терминах качественной картины поведения траекторий, а именно: 1) неблуждающие точки должны образовывать гиперболическое множество Ω, в к-ром всюду плотны периодич. траектории (так наз. аксиома А Смейла); 2) устойчивое и неустойчивое многообразия любых двух траекторий из Ω должны пересекаться трансверсально (строгое условие трансверсальности). Достаточность этих условий доказана почти в полной общности, необходимость пока что (70-е гг. 20 в.) удается доказать лишь при нек-ром видоизменении определения грубости (см., напр., [4] или [5]).

Лит.: [1] Андронов А. А., Понтрягин Л. С., «Докл. АН СССР», 1937, т. 14, № 5, с. 247-50; [2] Peixoto М. М., «Topology», 1962, v. 1, № 2, р. 101-20; 1963, v. 2, № 2, р. 179-80; [3] Смейл С., «Успехи матем. наук», 1970, т. 25, № 1, с. 113-85; [4] Кушниренко А. Г., Каток А. В., Алексеев В. М., Гладкие динамические системы, «Девятая летняя матем. школа. Ин-т матем. АН УССР», К., 1972, с. 50-341; [5] Нитецки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975.

Д. В. Аносов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.