ГРОТЕНДИКА ГРУППА

ГРОТЕНДИКА ГРУППА аддитивной категории - абелева группа, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть С - малая аддитивная категория и G - абелева группа. Отображение φ : С → G наз. аддитивным, если для любой тонной последовательности 0 → L → М → N → 0 объектов из С выполняется φ(L) + φ(N) = φ(М). Существует группа K(С), наз. Г. г., и такое аддитивное отображение k : С → K(С), наз. универсальным отображением, что для любого аддитивного отображения φ : C → G существует единственный гомоморфизм χ : К(C) → G, удовлетворяющий условию φ = χ ⋅ k.

Впервые эта конструкция была рассмотрена А. Гротендиком (A. Grothendieck) для категорий когерентных и локально свободных пучков на схемах при доказательстве теоремы Римана-Роха. См. К-функтор в алгебраич. геометрии. Группа К(С) определена однозначно с точностью до изоморфизма и может быть задана образующими - каждому объекту L ∈ C соответствует образующая [L] - и соотношениями [М] - [L] - [N] = 0 для всякой точной последовательности

0 → L → М → N → 0.

Частным случаем этого понятия является Г. г. коммутативного моноида М (который можно рассматривать как категорию). Тогда универсальное отображение k является гомоморфизмом М в группу К(М), а если в М выполняется закон сокращения, то k - инъективный гомоморфизм.

Если X - топологич. пространство, то Г. г. аддитивной категории векторных расслоений над X является инвариантом пространства, изучаемым в K-теории. Если С - категория невырожденных симметрических билинейных форм на векторных пространствах над полем k, то K(С) есть группа Витта-Гротендика над k (см. Витта кольцо).

Лит.: [1] Swan R., «Topology», 1963, v. 2, p. 85-110; [2] Борель А., Сepp Ж.-П., «Математика», 1961, т. 5, № 5, с. 17-54; [3] Атья М., Лекции по K-теории, пер. с англ., М., 1967; [4] Bass Н., Topics to algebraic K-theory, Bombay, 1966; [5] Лeнг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

В. И. Данилов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.