ГРИНА ФОРМУЛЫ

ГРИНА ФОРМУЛЫ - формулы интегрального исчисления функций многих переменных, связывающие значения n-кратного интеграла по области D n-мерного евклидова пространства Еⁿ и (n-1)-кратного интеграла по кусочно гладкой границе ∂D = T этой области. Г. ф. получаются интегрированием по частям интегралов от дивергенции векторного поля, непрерывного в D̅ = D + Г и непрерывно дифференцируемого в D.

В простейшей Г. ф.

(1)

криволинейный интеграл по контуру Г выражается через двойной интеграл по области D ⊂ E². При этом область D ориентируется естественным образом, а на границе Г берется индуцированная ориентация, известная как обход против часовой стрелки. Формула (1) имеет простой гидродинамич. смысл: поток через границу области Г жидкости, текущей по плоскости со скоростью v = (Q, -Р), равен интегралу по области D от интенсивности (дивергенции) div v = ∂Q/∂x - ∂P/∂y распределенных в D источников и стоков. В этом смысле Г. ф. (1) подобна Остроградского формуле (см. также Стокса формула).

Формула (1) иногда наз. именами К. Гаусса (С. Gauss) и Б. Римана (В. Riemann). Ни одно из употребляемых названий не является исторически верным: формула (1) встречалась еще в работах по анализу 18 в. - у Л. Эйлера (L. Euler) и др.

Дж. Грину [1] принадлежат следующие Г. ф. потенциала теории

(2)

- подготовительная Г. ф. и

(3)

где D - область E³, х = (х¹, х², х³), dx = dx¹dx²dx³ - элемент объема G, ds - элемент площади Г, N = (N₁, N₂, N₃) - единичная внешняя (ко)нормаль к Г,

- оператор дифференцирования в направлении (ко)век-тора N, а

- оператор Лапласа.

Формулы (2), (3) справедливы и в случае, когда D есть область Еⁿ, х = (х¹, ..., хⁿ), dx = dx¹...dxⁿ - элемент объема D, ds - элемент (n-1)-мерного объема Г, а

- оператор Лапласа с n независимыми переменными. Обобщения Г. ф. (2) и (3) для линейных дифференциальных операторов с частными производными с достаточно гладкими коэффициентами имеют вид:

1) если

- (вещественно) сопряженные дифференциальные операторы второго порядка, a^ij = a^ji, то

где N = (N₁, ..., N_n) - единичный (ко)вектор внешней нормали к Г,

- оператор дифференцирования по направлению так наз. конормали

оператора L;

2) если

то

где M - конормаль оператора L, a

3) если

- (вещественно) сопряженные дифференциальные операторы порядка m, α=(α₁, α₂, ..., α_p) - целочисленный мультииндекс длины |α| = р, 1 ≤ α_i ≤ n, D_α = ∂_α1∂_α2 ... ∂_αp, ∂ = ∂/∂xⁱ то

(4)

Здесь граничный интеграл можно записать в виде билинейной суммы

∑_ij ∫_Г B^ij(S_iu) (T_jv) ds,

где S_i, Т_j - нек-рые линейные дифференциальные операторы порядков s_i, t_j, 0 ≤ s_i + t_j ≤ m - 1.

Г. ф. играют важную роль в анализе и особенно в теории краевых задач для дифференциальных операторов (обыкновенных и с частными производными) второго и более высоких порядков. Для достаточно гладких в D̅ функций u(х), v(x) Г. ф. (2), (4) служат источником ряда соотношений, полезных для изучения свойств решения краевых задач, выяснения вида краевых задач, получения решения в явном виде и т. п. Напр., для гармонической в D функции u(х) из (2) при v(x) = 1 следует Гаусса теорема:

∫_∂G ∂u/∂N ds = 0.

Для достаточно гладких в D̅ функций u(х), w(x) и функции

имеющей при х = у такую же особенность, как и фундаментальное решение оператора Лапласа, верны следующие Г. ф.:

Здесь число

а ω_n = 2π^n/2/Г(n/2) есть площадь (n - 1)-мерной единичной сферы пространства Еⁿ. При этом для у ∈ Г предполагается, что граница Г имеет непрерывную касательную плоскость в нек-рой окрестности y.

Формулы (5) и (6) служат основой получения интегральных представлений решений основных краевых задач потенциала теории (см. Гармоническая функция, Грина функция, Пуассона формула). Напр., отсюда для гармонической в D функции u(х) получаем формулу, или интеграл Грина

(7)

играющую важную роль в теории гармонических функций.

Формулы, подобные формулам (5), (6), дающие интегральные представления решения задачи Коши или смешанной задачи, имеют место и для нормально гиперболич. оператора второго порядка. См. Кирхгофа формула, Римана метод, Римана функция.

О Г. ф. в теории краевых задач см. также [4] -[9].

Лит.: [1] Green G., An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism, Nottingham, [1828]; [2] Максвелл Д., Избранные сочинения по теории электромагнитного поля, пер. с англ., М., 1954; [3] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1966; [4] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [6] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [7] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [8] Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 2, М., 1966; [9] Лионе Ж.-Л., Мадженес Э., Неоднородные граничные задачи и их приложения, пер. с франц., М., 1971.

А. К. Гущин, Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.