ГРИНА ПРОСТРАНСТВО

ГРИНА ПРОСТРАНСТВО - топологич. пространство X, на к-ром определены гармонич. и супергармонич. функции и существует Грина функция (для Дирихле задачи в классе гармонич. функций), или, что равносильно, существует отличная от константы положительная супергармонич. функция. Точнее, пусть X является E-пространством, т. е. связным отделимым топологич. пространством, в к-ром: 1) каждая точка х ∈ Х имеет открытую окрестность V_x, гомеоморфную нек-рому открытому множеству Vэ_x евклидова пространства ℝⁿ (или его компактификации ℝ̅ⁿ по Александрову; см. Александрова бикомпактное расширение); 2) образы всякого непустого пересечения V_x ∩ V_y двух окрестностей в V_x и V_y изометричны, а при n = 2 конформно эквивалентны. Гармонич. и супергармонич. функции на E-пространстве X определяются локально посредством перехода к образам V'_x. Если, кроме того, на E-пространстве X существует отличная от константы положительная супергармонич. функция, или, что равносильно, положительный потенциал, то X наз. Грина пространством. Напр., евклидово пространство ℝⁿ, его компактификации ℝ̅ⁿ (n ≥ 2), римановы поверхности являются E-пространствами. При этом ℝⁿ при n ≥ 3 и римановы поверхности гиперболич. типа являются Г. п., a ℝ² и римановы поверхности параболич. типа не являются Г. п. Всякая область в Г. п. X снова есть Г. п.

В рамках аксиоматич. теории потенциала (см. Потенциала теория абстрактная) в качестве обобщения Г. п. можно рассматривать такие гармонические пространства X, на к-рых существует положительный потенциал.

Лит.: [1] Брело М., О топологиях и границах в теории потенциала, пер. с англ., М., 1974; [2] Вrеlоt М., Choquet G., «Апп. Inst. Fourier», 1952, t. 3, p. 199-263.

E. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.