ГРИНА ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

ГРИНА ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ на полугруппе - бинарные отношения ℒ, ℛ, , , ℋ заданные следующим образом: хℒу означает, что x и y порождают совпадающие левые главные идеалы; хℛу и xy имеют аналогичный смысл с заменой «левые» на «правые» и «двусторонние» соответственно; = ℒ ∨ ℋ (объединение в решетке отношений эквивалентности); ℋ = ℒ ∩ ℛ. Отношения ℒ и ℛ перестановочны в смысле умножения бинарных отношений, так что совпадает с их произведением. Отношение ℒ является правой конгруэнцией, т. е. стабильно справа: аℒb влечет асℒbс для любого с; отношение ℛ есть левая конгруэнция (стабильно слева). ℒ-класс и ℛ-класс пересекаются тогда и только тогда, когда они лежат в одном и том же -классе. Все ℋ-классы, лежащие в одном -классе, равномощны. Если -класс D содержит регулярный элемент, то все элементы из D регулярны, причем вместе с любым своим элементом D содержит и все инверсные к нему; такой -класс наз. регулярным. В регулярном -классе каждый ℒ-класс и каждый ℛ-класс содержит идемпотент. Если Н - произвольный ℋ-класс, то либо Н является группой (это имеет место тогда и только тогда, когда Н есть максимальная подгруппа данной полугруппы), либо Н ∩ H² = 0. Все групповые ℋ-классы из одного и того же -класса суть изоморфные группы. В общем случае ≠ , но, напр., если нек-рая степень каждого элемента полугруппы S лежит в подгруппе (в частности, если S - периодическая полугруппа), то = . Отношение включения главных левых идеалов естественным образом определяет отношение частичного порядка на множестве ℒ-классов; аналогично, для ℛ-классов и -классов. Рассматриваемые отношения были введены Дж. Грином [1].

Лит.: [1] Green J., «Аnn. Math.», 1951, v. 54, p. 163-172; [2] Ляпин E. С., Полугруппы, M., 1960; [3] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., тт. 1 и 2, М., 1972; [4] Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп, пер. с англ., М., 1975; [5] Hofmann К., Mostert P., Elements of compact semigroups, Columbus (Ohio), 1966.

Л. H. Шеврин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.