ГРАНИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

ГРАНИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ области, простые концы области, - элементы области В комплексной плоскости, определяемые следующим образом. Пусть В - односвязная область расширенной комплексной плоскости, ∂В - граница области В. Сечением с области В наз. всякая простая замкнутая в сферической метрике жорданова дуга c = a̅b̅ с концами а и b (случаи а = b, а или b = ∞ не исключаются) такая, что a, b принадлежат ∂В; неконцевые точки с принадлежат В; дуга с разбивает В на две подобласти, такие, что на границе каждой из них найдется точка, принадлежащая ∂В и отличная от а и b. Последовательность К сечений с_n области В наз. цепью, если: диаметр с_n стремится к 0 при n → ∞; для каждого n пересечение с̅_n ∩ с̅_n+1 пусто; любой путь, соединяющий фиксированную точку О ∈ В в В с сечением с_n (n > 1), пересекает сечение c_n-1. Две цепи К = {с_n} и K' = {с'_n} в В эквивалентны, если каждое сечение с_n разделяет в В точку О от всех сечений с'_n за исключением конечного числа их. Класс эквивалентности цепей в В наз. граничным элементом, или простым концом, области В.

Пусть Р - Г. э. области В, определяемый цепью К = {с_n}, и пусть В_n - такая из двух подобластей, на к-рые с_n разбивает область В, что она не содержит точку О. Множество I(Р) = ∩^∞_n=1 B̅_n наз. телом (или носителем) Г. э. Тело Г. э. состоит из точек границы и не зависит от выбора пени K в классе эквивалентности. Главной точкой Г. э. наз. точка Г. э., к к-рой стягиваются (сходятся) сечения по крайней мере одной из ценен, определяющих рассматриваемый Г. э. Смежной (или дополнительной) точкой Г. э. наз. всякая его точка, не являющаяся главной. Всякий Г. э. содержит по крайней мере одну главную точку. Главные точки Г. э. образуют замкнутое множество. Г. э. следующим образом классифицируются по К. Каратеодори [1]: Г. э. 1-го рода содержит единственную главную точку и не содержит смежных точек; Г. э. 2-го рода - единственную главную точку и бесконечное множество смежных точек; Г. э. 3-го рода -континуум главных точек и не содержит смежных точек; Г. э. 4-го рода - континуум главных точек и бесконечное множество смежных точек.

Другое равносильное определение Г. э. дал П. Кёбе [2]. Оно основано на классах эквивалентности путей. Основной в теории Г. э. является теорема Каратеодори: при однолистном конформном отображении области В на единичный круг |ζ| < 1 между точками окружности |ζ| = 1 и Г. э. области В существует взаимно однозначное соответствие. При этом каждая последовательность точек области В, сходящаяся к Г. э. Р, преобразуется в последовательность точек единичного круга, сходящуюся к точке ζ₀, |ζ₀| = 1, являющейся образом Г. э. Р.

Лит.: [1] Caratheodory С., «Маth. Аnn.», 1913, Bd 73, S. 323-70; [2] Коеbе P., «J. reine und angew. Math.», 1915, Bd 145, S. 177-223; [3] Суворов Г. Д., Семейства плоских топологических отображений, Новосиб., 1965; [4] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [5] Коллингвуд Э., Ловатер А., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971, гл. 9.

Е. Г. Голузина.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.