![]() |
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ - задачи нахождения аналитической в нек-рой области функции по заданному соотношению между граничными значениями ее действительной и мнимой частей. Впервые такая задача была поставлена в 1857 Б. Риманом (см. [1]). Д. Гильберт [2] исследовал граничную задачу в следующей постановке (задача Римана - Гильберта): найти функцию Ф(z) = u + iv, аналитическую в односвязной области S+ с контуром L, непрерывную в S+ ∪ L, по граничному условию Re(а + ib)Ф = аu - bv = c, (1) где а, b, с - заданные на L действительные непрерывные функции. Первоначально Д. Гильберт привел эту задачу к сингулярному интегральному уравнению с целью дать пример приложения такого уравнения. Задача (1) может быть сведена к последовательному решению двух задач Дирихле. Полное исследование задачи, проведенное таким способом, имеется в [3]. Близкой к задаче (1) является задача, к к-рой пришел А. Пуанкаре [4] при разработке математич. теории приливов. Задача Пуанкаре состоит в определении гармонической в области S+ функции u(х, у) по условию на границе L этой области: A(s)∂u/∂n + B(s)∂u/∂s + C(s)u = f(s), (2) где A(s), B(s), C(s), f(s) - заданные на L действительные функции, s - дуговая абсцисса, n - нормаль к Р. Под обобщенной задачей Римана-Гильберта-Пуанкаре (задача Р.-Г.-П.) понимается следующая линейная граничная задача: найти функцию Ф(z), аналитическую в S+, по граничному условию Rе{λФ} = f(t0), t0 ∈ Sn, (3) где λ - интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой ![]() в к-рой a0(t0), ..., am(t) - заданные на L, вообще комплексные, функции класса Н (т. е. удовлетворяющие условию Гёльдера), f(t) - заданная действительная функция класса H, hj(t0, t) - заданные на L, вообще комплексные, функции вида ![]() причем h0j(t0, t) - функции класса Н по обеим переменным. В правой части (4) под Ф(j)(t0) подразумевается граничное значение на L изнутри области S+ производной j-го порядка функции Ф(z). Частным случаем задачи Р.-Г.-П. при m = 0, hj(t0, t) = 0 является задача Римана-Гильберта; задача Пуанкаре также является частным случаем сформулированной задачи. К задаче Р.-Г.-П. приводятся многие важные граничные задачи, напр. граничные задачи для уравнений с частными производными эллиптич. типа с двумя независимыми переменными. Задача Р.-Г.-П. была поставлена и в предположении, что am(t0) ≠ 0, t0 ∈ L, и решена И. Н. Векуа [3]. В теории граничных задач важную роль играет понятие индекса задачи - целого числа, определяемого формулой ℵ = 2(m + n), где 2πn - приращение arg a̅m(t) при однократном обходе контура L в направлении, составляющем область S+ слева. Задача Р.- Г.- П. редуцируется к сингулярному интегральному уравнению вида Nμ = A(t0) μ(t0) + ∫LN(t0, t) μ(t)ds = f(t0) - cσ(t0), (5) где μ - искомая действительная функция класса Н, с - искомая действительная постоянная, а N(t0, t) = K(t0, t)/(t - t0); функции A(t0), K(t0, t), σ(t0) выражаются через aj(t) и hj(t0, t), j = 0, ..., m. Пусть k и k'- числа линейно независимых решений соответствующего (5) однородного интегрального уравнения Nμ = 0 и союзного с ним однородного интегрального уравнения Nν = A(t0) ν(t0) + ∫LN(t0, t) ν(t)ds = 0. (6) Числа k и k' связаны с индексом x задачи P.-Г.-П. равенством ℵ = k - k'. Особый интерес представляет тот случай, когда задача разрешима при всякой правой части f(t0). Для того чтобы задача Р.-Г.-П. была разрешима при любой правой части f(t0), необходимо и достаточно, чтобы k' = 0 или k' = 1, причем в последнем случае решение ν(t) уравнения (6) должно удовлетворять условию ∫L ν(t)σ(t) ds ≠ 0; в обоих случаях ℵ ≠ 0 и однородная задача Rе{λФ} = 0 имеет ровно ℵ + 1 линейно независимых решений. При σ(t) = 0 задача Р.-Г.-П. разрешима при любой правой части тогда и только тогда, когда k' = 0. В случае задачи Римана-Гильберта имеют место следующие утверждения: 1) при ℵ ≥ 0 неоднородная задача (1) разрешима при любой правой части и 2) при ℵ < -2 эта задача разрешима тогда и только тогда, когда ![]() где ![]() Задача Римана-Гильберта тесно связана с так наз. задачей линейного сопряжения. Если L - простая гладкая или кусочно гладкая линия, состоящая из замкнутых контуров, ограничивающих нек-рую область S+ плоскости комплексного переменного z = x + iy, остающуюся слева при обходе L, то дополнение S+ ∪ L до плоскости z обозначается через S-. Пусть функция Ф(z) задана и непрерывна в окрестности линии L всюду, кроме, быть может, самой L. Говорят, что функция Ф(z) непрерывно продолжима на точку f ∈ L слева (или справа), если Ф(z) стремится к определенному пределу Ф+(1) [или Ф-(t)], когда z стремится к t по любому пути, оставаясь слева (или справа) от L. Функцию Ф(z) наз. кусочно аналитической с линией скачка L, если она аналитична в S+ и S- и непрерывно продолжима на каждую точку t ∈ L как слева так и справа. В задаче линейного сопряжения требуется определить кусочно аналитич. функцию Ф(z) с линией скачка L, имеющую конечный порядок на бесконечности, по граничному условию Ф+(t) = G(t)Ф-(t) + g(t), t ∈ L, где G(t) и g(t) - заданные на L функции класса H. В предположении, что G(t) ≠ 0 всюду на L, целое число ℵ = 1/2π[arg G(t)]L наз. индексом задачи линейного сопряжения. Когда Ф(z) = (Ф1, ..., Фn) - кусочно аналитический вектор, G(t) - квадратная (n × n)-матрица и g(t) = (g1, ..., gn) - вектор, причем det G(t) ≠ 0, целое число ℵ = 1/2π[arg det G(t)L наз. суммарным индексом задачи линейного сопряжения. Понятия индекса и суммарного индекса играют важную роль в теории задачи линейного сопряжения (см. [5], [6], [7], [8]). На базе теории задачи линейного сопряжения построена теория одномерных сингулярных интегральных уравнений вида (5). Лит.: [1] Риман В., Сочинения, пер. с нем., М.-Л., 1948; [2] Hilbert D., Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Lpz.-В., 1912; [3] Векуа И. Н., «Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР», 1942, т. 11, с. 109-39; [4] Poincaré Н., Lecons de mécanique céleste, t. 3, P., 1910, ch. 10; [5] Mусxeлишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [6] Векуа Н. П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, 2 изд., М., 1970; [7] Гахов Ф. Д., Краевые задачи, 2 изд., М., 1963; [8] Хведелидзе Б. В., «Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР», 1956, т. 23, с. 3-158. А. В. Бицадзе. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |