ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ - задачи нахождения аналитической в нек-рой области функции по заданному соотношению между граничными значениями ее действительной и мнимой частей. Впервые такая задача была поставлена в 1857 Б. Риманом (см. [1]). Д. Гильберт [2] исследовал граничную задачу в следующей постановке (задача Римана - Гильберта): найти функцию Ф(z) = u + iv, аналитическую в односвязной области S⁺ с контуром L, непрерывную в S⁺ ∪ L, по граничному условию

Re(а + ib)Ф = аu - bv = c, (1)

где а, b, с - заданные на L действительные непрерывные функции. Первоначально Д. Гильберт привел эту задачу к сингулярному интегральному уравнению с целью дать пример приложения такого уравнения.

Задача (1) может быть сведена к последовательному решению двух задач Дирихле. Полное исследование задачи, проведенное таким способом, имеется в [3].

Близкой к задаче (1) является задача, к к-рой пришел А. Пуанкаре [4] при разработке математич. теории приливов. Задача Пуанкаре состоит в определении гармонической в области S⁺ функции u(х, у) по условию на границе L этой области:

A(s)∂u/∂n + B(s)∂u/∂s + C(s)u = f(s), (2)

где A(s), B(s), C(s), f(s) - заданные на L действительные функции, s - дуговая абсцисса, n - нормаль к Р.

Под обобщенной задачей Римана-Гильберта-Пуанкаре (задача Р.-Г.-П.) понимается следующая линейная граничная задача: найти функцию Ф(z), аналитическую в S⁺, по граничному условию

Rе{λФ} = f(t₀), t₀ ∈ Sⁿ, (3)

где λ - интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой

в к-рой a₀(t₀), ..., a_m(t) - заданные на L, вообще комплексные, функции класса Н (т. е. удовлетворяющие условию Гёльдера), f(t) - заданная действительная функция класса H, h_j(t₀, t) - заданные на L, вообще комплексные, функции вида

причем h⁰_j(t₀, t) - функции класса Н по обеим переменным. В правой части (4) под Ф^(j)(t₀) подразумевается граничное значение на L изнутри области S⁺ производной j-го порядка функции Ф(z).

Частным случаем задачи Р.-Г.-П. при m = 0, h_j(t₀, t) = 0 является задача Римана-Гильберта; задача Пуанкаре также является частным случаем сформулированной задачи. К задаче Р.-Г.-П. приводятся многие важные граничные задачи, напр. граничные задачи для уравнений с частными производными эллиптич. типа с двумя независимыми переменными.

Задача Р.-Г.-П. была поставлена и в предположении, что a_m(t₀) ≠ 0, t₀ ∈ L, и решена И. Н. Векуа [3].

В теории граничных задач важную роль играет понятие индекса задачи - целого числа, определяемого формулой

ℵ = 2(m + n),

где 2πn - приращение arg a̅_m(t) при однократном обходе контура L в направлении, составляющем область S⁺ слева.

Задача Р.- Г.- П. редуцируется к сингулярному интегральному уравнению вида

N_μ = A(t₀) μ(t₀) + ∫_LN(t₀, t) μ(t)ds = f(t₀) - cσ(t₀), (5)

где μ - искомая действительная функция класса Н, с - искомая действительная постоянная, а

N(t₀, t) = K(t₀, t)/(t - t₀);

функции A(t₀), K(t₀, t), σ(t₀) выражаются через a_j(t) и h_j(t₀, t), j = 0, ..., m.

Пусть k и k'- числа линейно независимых решений соответствующего (5) однородного интегрального уравнения Nμ = 0 и союзного с ним однородного интегрального уравнения

N_ν = A(t₀) ν(t₀) + ∫_LN(t₀, t) ν(t)ds = 0. (6)

Числа k и k' связаны с индексом x задачи P.-Г.-П. равенством

ℵ = k - k'.

Особый интерес представляет тот случай, когда задача разрешима при всякой правой части f(t₀). Для того чтобы задача Р.-Г.-П. была разрешима при любой правой части f(t₀), необходимо и достаточно, чтобы k' = 0 или k' = 1, причем в последнем случае решение ν(t) уравнения (6) должно удовлетворять условию

∫_L ν(t)σ(t) ds ≠ 0;

в обоих случаях ℵ ≠ 0 и однородная задача Rе{λФ} = 0 имеет ровно ℵ + 1 линейно независимых решений. При σ(t) = 0 задача Р.-Г.-П. разрешима при любой правой части тогда и только тогда, когда k' = 0.

В случае задачи Римана-Гильберта имеют место следующие утверждения: 1) при ℵ ≥ 0 неоднородная задача (1) разрешима при любой правой части и 2) при ℵ < -2 эта задача разрешима тогда и только тогда, когда

где

Задача Римана-Гильберта тесно связана с так наз. задачей линейного сопряжения. Если L - простая гладкая или кусочно гладкая линия, состоящая из замкнутых контуров, ограничивающих нек-рую область S⁺ плоскости комплексного переменного z = x + iy, остающуюся слева при обходе L, то дополнение S⁺ ∪ L до плоскости z обозначается через S^-. Пусть функция Ф(z) задана и непрерывна в окрестности линии L всюду, кроме, быть может, самой L. Говорят, что функция Ф(z) непрерывно продолжима на точку f ∈ L слева (или справа), если Ф(z) стремится к определенному пределу Ф⁺(1) [или Ф^-(t)], когда z стремится к t по любому пути, оставаясь слева (или справа) от L.

Функцию Ф(z) наз. кусочно аналитической с линией скачка L, если она аналитична в S⁺ и S^- и непрерывно продолжима на каждую точку t ∈ L как слева так и справа.

В задаче линейного сопряжения требуется определить кусочно аналитич. функцию Ф(z) с линией скачка L, имеющую конечный порядок на бесконечности, по граничному условию

Ф⁺(t) = G(t)Ф^-(t) + g(t), t ∈ L,

где G(t) и g(t) - заданные на L функции класса H. В предположении, что G(t) ≠ 0 всюду на L, целое число

ℵ = 1/2π[arg G(t)]_L

наз. индексом задачи линейного сопряжения.

Когда Ф(z) = (Ф₁, ..., Ф_n) - кусочно аналитический вектор, G(t) - квадратная (n × n)-матрица и g(t) = (g₁, ..., g_n) - вектор, причем det G(t) ≠ 0, целое число

ℵ = 1/2π[arg det G(t)_L

наз. суммарным индексом задачи линейного сопряжения. Понятия индекса и суммарного индекса играют важную роль в теории задачи линейного сопряжения (см. [5], [6], [7], [8]).

На базе теории задачи линейного сопряжения построена теория одномерных сингулярных интегральных уравнений вида (5).

Лит.: [1] Риман В., Сочинения, пер. с нем., М.-Л., 1948; [2] Hilbert D., Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Lpz.-В., 1912; [3] Векуа И. Н., «Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР», 1942, т. 11, с. 109-39; [4] Poincaré Н., Lecons de mécanique céleste, t. 3, P., 1910, ch. 10; [5] Mусxeлишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [6] Векуа Н. П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, 2 изд., М., 1970; [7] Гахов Ф. Д., Краевые задачи, 2 изд., М., 1963; [8] Хведелидзе Б. В., «Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР», 1956, т. 23, с. 3-158.

А. В. Бицадзе.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.