ГРАМА МАТРИЦА

ГРАМА МАТРИЦА - квадратная матрица

G(a₁, ..., a_k) = ||g_αβ||,

составленная из попарных скалярных произведений g_αβ = (а_α, a_β) элементов (векторов) (пред)гильбертова пространства. Г. м. всегда неотрицательна. Она положительно определена, если a₁, ..., a_k линейно независимы. Справедливо обратное: любая неотрицательная (положительно определенная) (k × k)-матрица есть нек-рая Г. м. (с линейно независимыми определяющими векторами).

Если a₁, ..., a_k суть n-мерные векторы (столбцы) n-мерного евклидова (эрмитова) пространства с обычным скалярным произведением

то

G(a₁, ..., a_k) = А̅^TА,

где А есть (n × k)-матрица, составленная из столбцов a₁, ..., a_k, знак ^T означает операцию транспонирования матриц, а черта сверху - взятие комплексно сопряженной величины. См. также Грама определитель.

Л. П. Купцов

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.