ГРАДУИРОВАННАЯ АЛГЕБРА

ГРАДУИРОВАННАЯ АЛГЕБРА - алгебра А, аддитивная группа к-рой представлена в виде (слабой) прямой суммы групп A_i, i = 0, 1, 2, ..., причем A_iA_j ⊆ A_i+j для любых i, j. Таким образом аддитивная группа Г. а. (рассматриваемая как модуль над кольцом целых чисел) есть положительно градуированный модуль. Примером Г. а. может служить алгебра A = F[х] многочленов над полем F, где A_i - подпространство, порожденное одночленами степени i (A₀ = F). Возможно более общее определение Г. а. А как такой алгебры, аддитивная группа к-рой представляется в виде прямой суммы групп А_α, где α пробегает нек-рую коммутативную полугруппу G и А_αА_β ⊆ A_α+β для любых α, β ∈ G. С понятием Г. а. тесно связано понятие фильтрованной алгебры. Действительно, на каждой Г. a. A = ∑_i≥0 естественным образом определяется возрастающая фильтрация:

Обратно, если A = ∪_k≥0k - фильтрованная алгебра (₀ ⊂ ₁ ⊂ ..., _ij ⊂ _i+j), то определяют Г. а. GA = ∑_i≥0A_i (A_i = _i/_i-1, A₀ = ₀), к-рую наз. Г. а., ассоциированной с А. Аналогично определяется градуированное кольцо.

Е. Н. Кузьмин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.