ГРАДИЕНТНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

ГРАДИЕНТНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА - поток, задаваемый градиентом гладкой функции f на гладком многообразии. При дифференцировании f непосредственно получается ковариантный вектор (напр., в конечномерном случае в координатной окрестности U с локальными координатами x¹, ..., xⁿ это будет вектор с компонентами ∂f/∂x¹, ..., ∂f/∂xⁿ), тогда как вектор фазовой скорости является контравариантным вектором. Переход от одного к другому осуществляется с помощью к.-л. римановой метрики, от выбора к-рой (наряду с f) зависит, таким образом, определение Г. д. с; часто у вектора фазовой скорости еще меняют знак. В приведенном примере Г. д. с. в области U описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

где коэффициенты g^ij образуют матрицу, обратную по отношению к матрице коэффициентов ||g_ij|| метрич. тензора; подразумевается, что во всех n уравнениях правая часть берется с одним и тем же знаком «плюс» или «минус». Часто под Г. д. с. понимают системы несколько более общего типа (см. [1]).

Лит.: [1] Smаlе S., «Аnn. Math.», 1961, v. 74, p. 199-206.

Д. В. Аносов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.