ГОРНЕРА СХЕМА

ГОРНЕРА СХЕМА - прием для нахождения неполного частного и остатка при делении многочлена

f(х) = а_nхⁿ + а_n-1х^n-1 + ... + а₁х + а₀

на двучлен х - а, где все коэффициенты а, а₀, ..., а_n лежат в нек-ром поле, напр., в поле комплексных чисел. Всякий многочлен f(x) единственным способом представим в виде

f(х) = (х - а)g(х) + r,

где g(x) = b_n-1x^n-1 + ... + b₁x + b₀ есть неполное частное, а r - остаток, равный по Безу теореме f(a). Коэффициенты g(x) и r вычисляются по рекуррентным формулам

b_n-1 = a_n, b_n-2 = а_n-1 + аb_n-1, ..., b₀ = a₁ + ab₁, r = a₀ + ab₀. (*)

При вычислениях применяют таблицу

верхняя строка к-рой задана, а нижняя заполняется по формулам (*). Этот способ по существу совпадает с методом Тянь-юань, применявшимся в средневековом Китае. В начале 19 в. он был заново открыт почти одновременно У. Горнером [1] и П. Руффини [2].

Лит.: [1] Horner W. G., «Philos. Trans. Roy. Soc. London A», 1819, v. 1, p. 308-35; [2] Ruffini P., «Mem. coronata della Societá Italiana delle Scienze», 1802, v. 9, p. 444-526.

В. H. Ремесленников.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.