ГОРЕНШТЕЙНА КОЛЬЦО

ГОРЕНШТЕЙНА КОЛЬЦО - коммутативное нётерово локальное кольцо, имеющее конечную инъективную размерность (см. Гомологическая размерность). Кольцо А с максимальным идеалом ℳ и полем вычетов k размерности n является Г. к. тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) Extⁱ_A(k, А) = 0 для i ≠ n и Extⁿ_A(k, А) ≃ k.

2) Для любой максимальной А-последовательности x₁, ..., x_n (см. Глубина модуля) идеал (x₁, ..., x_n) неприводим.

3) Функтор M ↦ Extⁿ_A(M, А), определенный на категории A-модулей конечной длины, изоморфен функтору M ↦ Hom_A(M, I), где I - инъективная оболочка поля k.

4) Кольцо А является Коэна-Маколея кольцом (в частности, все локальные когомологий Нⁱ_m(А) = 0 для i ≠ n) и Нⁿ_m(А) совпадает с инъективной оболочкой поля k.

5) Для любого A-модуля М конечного типа существует канонич. изоморфизм

Нⁱ_m(М) ≃ Hom (Ext^n-i(М, А), Нⁿ_m(А))

(локальная двойственность).

Примерами Г. к. являются регулярные кольца, а также их факторкольца по идеалу, порожденному регулярной последовательностью элементов (полные пересечения).

В случае, когда Г. к. A - одномерная область целостности, Г. к. допускают следующую численную характеризацию. Пусть А̅ - целое замыкание А в поле частных, F - кондуктор А в А̅, С = dim_kA̅/F и δ = dim_kA̅/A. Тогда кольцо А есть Г. к. тогда и только тогда, когда С = 2δ. Это равенство впервые доказано для локального кольца неприводимой плоской алгебраической кривой Д. Горенштейном [1]. Локализация Г. к. является Г. к. В связи с этим возникло расширение понятия Г. к.: нётерово кольцо (или схема) наз. кольцом (схемой) Горенштейна, если все локализации этого кольца по простым идеалам (соответственно все локальные кольца схемы) являются локальными кольцами Горенштейна (в первом определении).

Лит.: [1] Gorenstein D., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1952, v. 72, p. 414-36; [2] Сepp Ж., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [3] Аврамов Л. Л., Голод Е. С., «Матем. заметки», 1971, т. 9, № 1, с. 53-8; [4] Grothendieck A., Seminaire Bourbaki, 2 ed., P., 1959; [5] его же, Local cohomology, В.-Hdlb.-N.Y., 1967; [6] Hartshorne R., Residues and duality, В.-Hdlb.-N.Y., 1966; [7] Bass H., «Math. Z.», 1963, Bd 82, № 1, S. 8-28.

В. И. Данилов, И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.