ГОМОТОПИЯ

ГОМОТОПИЯ, гомотопность двух непрерывных отображений f, g : X → Y, -формализация интуитивного представления о деформируемости одного отображения в другое. Точнее, отображения f и g наз. гомотопными (обозначение f ~ g), если существует такое семейство непрерывных отображений f_t : X → Y, непрерывно зависящих от параметра t ∈ [0, 1], что f₀ = f_n, f₁ = g (фиксация отрезка [0, 1] произведена здесь лишь по соображениям технич. удобства; ясно, что вместо него можно взять любой другой отрезок действительной оси). Это семейство (называемое гомотопией, связывающей f с g) является путем в пространстве F(X, Y) всех непрерывных отображений X → Y, связывающим точку f с точкой g, так что гомотопность отображений является специализацией на случай пространств отображений общего отношения «быть связанным непрерывным путем». Поэтому, в частности, отношение гомотопности является отношением эквивалентности, а соответствующие классы (они называются гомотопич. классами) представляют собой компоненты линейной связности пространства F(X, Y). Для придания сказанному точного смысла необходимо уточнить, что означает выражение «отображения f_t непрерывно зависят от t». Самый естественный путь состоит во введении в F(X, Y) топологии (или хотя бы псевдотопологии). Однако по традиции принято поступать иначе. Именно, по определению, считается, что f_t непрерывно зависит от t, если функция f_t(t) непрерывна по совокупности переменных, т. е. если непрерывно отображение F : Х × [0, 1] → Y, определенное формулой F(x, t) = f_t(x) (это отображение также часто наз. гомотопией, связывающей f с g).

Описанные Г. иногда наз. свободными, чтобы отличить их от «связанных» Г., возникающих, когда фиксирован нек-рый класс непрерывных отображений X → Y и наложено требование, чтобы f_t ∈ для любого t ∈ [0, 1]. Напр., если задано подпространство A ⊂ X, то можно рассматривать связанные на А гомотопий, отличающиеся тем, что f_t = f₀ на А для всех t. В этом случае говорят, что отображение f = f₀ гомотопно отображению g = f₁ относительно А и пишут f ~ g rel А.

Другой тип «связанных» Г. возникает, когда в X и Y выбраны подпространства А ⊂ Х и В ⊂ Y и рассматриваются лишь отображения f : X → Y, удовлетворяющие условию f(A) ⊂ B. Такие отображения наз. отображениями пары (X, А) в пару (Y, В) [обозначение f : (X, А) → (Y, В)], а соответствующие Г. [т. е. гомотопий, для к-рых f_t(A) ⊂ B для всех t] - гомотопиями отображений пар. Вместо пар можно рассматривать тройки (X, А, В) (с условием В ⊂ А ⊂ Х или без этого условия), четверки и т. п. Можно рассматривать, напр., Г. отображений пар относительно третьего подпространства и т. д. Возможны и принципиально другие типы «связанных» Г.

Задача установления гомотопичности («связанной» или нет) двух данных отображений f, g : X → Y равносильна задаче распространения на все X × [0, 1] непрерывного отображения в Y, заданного на X × 0 ∪ X × 1 (а в задаче гомотопности rel А - на X × 0 ∪ A × [0, 1] ∪ X × 1). В этом смысле задача гомотопности является частным случаем задачи распространения. Вместе с тем в широком классе случаев (а именно, для так наз. корасслоений) возможность распространения на все X непрерывного отображения А → Y, заданного на подпространстве А ⊂ Х, зависит только от его гомотопич. класса. Эта тесная связь задачи гомотопности и задачи распространения обусловливает их совместное рассмотрение в рамках так наз. теории гомотопий. См. Гомотопический тип.

М. М. Постников.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.