ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП

ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП топологизированной категории - проективная система топологич. пространств, ассоциированная с топологизированной категорией и позволяющая определять гомотопические группы этой категории, группы гомологий и когомологий со значениями в абелевой группе и т. д.

Рассматриваются только локально связные топологизированные категории (С, τ), т. е. такие категории С. снабженные топологией Гротендика τ, любой объект к-рых представим в виде копроизведения ⊔_i∈IX_i неразложимых объектов X_i; I играет роль множества связных компонент топологич. пространства. Множество индексов I определено однозначно с точностью до биекции; оно обозначается π₀(Х). Сопоставление Х ↦ π₀(Х) определяет функтор из категории С в категорию множеств. Произвольное покрытие U → Х объекта X в топологии (С, τ) определяет симплициальный объект U. в категории С. для к-рого

и симплициальное множество π₀(U). Геометрич. реализация симплициального множества π₀(U) дает топологич. пространство |U| = |π₀(U.)|. Для любого измельчения W → Х - покрытия U (W → Х пропускается через U → X) определено (с точностью до гомотопий) непрерывное отображение |W| → |U|. Таким образом, объекту X сопоставляется проективная система топологич. пространств {|U|}_U∈Cov(X), где Cov(X) - семейство всех покрытий объекта X.

Это определение аналогично определению когомологий Чеха; известно, однако, что в общем случае когомологий Чеха дают «правильные» когомологии только в размерностях 0 и 1. Поэтому приведенная выше конструкция не может считаться удовлетворительной. В [1] введено понятие гиперпокрытия, обобщающее симплициальные объекты U., построенные выше для покрытий U →Х. Это - снова симплициальный объект K. в топологизированной категории (С, τ) с финальным объектом X, удовлетворяющий условиям: K₀ → Х - покрытие объекта X; для любого n канонич. морфизм K_n+1 → (cosk_n(K.))_n+1 является покрытием, где cosk_n - функтор n-го коскелета.

Сопоставление каждому гиперпокрытию К. топологич. пространства |π₀(K.)| приводит к проективной системе пространств, параметризованной гиперпокрытиями. Это и определяет гомотопический тип (а точнее - прогомотопический тип) топологизированной категории (С, τ) с финальным объектом X. Группы гомотопий, гомологий и когомологий вводятся стандартным способом.

Г. т. топологизированной категории, ассоциированной со схемой, позволяет определить Г. т. схемы. Наиболее часто рассматривают случай этальной топологии X_et на схеме X. В этом случае Г. т. схемы X представляет собой прообъект категории пунктированных симплициальных множеств или категории конечных клеточных комплексов. Определяемые для таких объектов гомотопические группы π_i(Х) являются проконечными группами и наз. i-ми гомотопическими группами схемы X (см. [2]). Если X - нормальная схема, то π₁(X) совпадает с фундаментальной группой схемы, определяемой по Гротендику [3]. Г. т. точки X = Spec k, где k - поле, совпадает с проективным пределом пространств Эйленберга-Маклейна K(G_i, 1), где G_i - группа Галуа конечного расширения Галуа K_i поля k. В случае алгебраич. многообразий над полем комплексных чисел ℂ имеет место теорема сравнения: группы π_i(Х) являются проконечным пополнением обычных гомотопич. групп π_i(X^an) комплексного пространства Х^an, ассоциированного с X.

Лит.: [1] Труды международного конгресса математиков (Москва. 1966), М., 1968, с. 44-56; [2] Theorie des Toposes et cohomologie etale des schimas, t. 1-3, В.-Hdlb.-N.Y.,1974; [3] Artin M., Mazur В., Etale homotopy, В.-Hdlb.-N. Y., 1969; [4] Сулливан Д., Геометрическая топология, пер. с англ., М., 1975; [5] Revêtements etales et groupe fondamental (S6AI), B.-Hdlb.-N.Y., 1971.

В. И. Данилов, И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.