ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП

ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП - класс гомотопически эквивалентных топологич. пространств. Отображения f : X → Y и g: Y → Х наз. взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями, если f○g ~ 1_y и g○f ~ 1_x. Если выполнено только первое из этих соотношений, то g наз. гомотопически мономорфным отображением, а f-гомотопически эпиморфным отображением. Отображение тогда и только тогда является гомотопич. эквивалентностью, когда оно гомотопически мономорфно и эпиморфно. Если существует гомотопически эпиморфное отображение f : X → Y, то говорят, что пространство Y доминирует над пространством X. Если существует гомотопич. эквивалентность f : X → Y, то пространства X и Y наз. гомотопически эквивалентными, или пространствами одного гомотопического типа.

Проблема гомотопического типа состоит в нахождении необходимых и достаточных условий гомотопич. эквивалентности любых пространств. Оказывается удобным эту постановку несколько ослабить. Отображение f : X → Y наз. слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп всех размерностей. Соответственно, пространства X и Y наз. слабо гомотопически эквивалентными, если существует либо слабая гомотопич. эквивалентность X → Y, либо слабая гомотопич. эквивалентность Y → Х. Поскольку любая гомотопич. эквивалентность является слабой гомотопич. эквивалентностью, то гомотопически эквивалентные пространства слабо гомотопически эквивалентны. Обратное верно, если пространства являются клеточными разбиениями (теорема Уайтхеда). Эта теорема основана на том, что: 1) отображение f : Х → Y тогда и только тогда является гомотопич. эквивалентностью, когда X есть деформационный ретракт цилиндра M_f отображения f; 2) отображение f : X → Y тогда и только тогда является слабой гомотопич. эквивалентностью, когда подпространство X цилиндра М_f гомотопически репрезентативно (см. Репрезентативное подпространство); 3) подразбиение клеточного разбиения тогда и только тогда репрезентативно, когда оно является деформационным ретрактом.

Таким образом, проблема Г. т. на категории клеточных разбиений равносильна проблеме слабого Г. т. С другой стороны, любое пространство X слабо гомотопически эквивалентно геометрич. реализации его сингулярного симплициального множества S(X). Поэтому в проблеме слабого Г. т. без ограничения общности можно рассматривать лишь клеточные разбиения.

Отображения f, g : X → Y наз. n-гомотопными, если для любого клеточного разбиения К размерности ≤ n и любого отображения φ : K → Х отображения f○φ и g○φ гомотопны. Если X - клеточное разбиение, это имеет место тогда и только тогда, когда f|Хⁿ ~ g|Хⁿ. Пространства, эквивалентные по отношению n-гомотопности, наз. пространствами одного n-гомотопического типа. Клеточные разбиения K и L наз. разбиениями одного n-типа (обозначение К ~_n L), если их n-е остовы Kⁿ и Lⁿ имеют один и тот же (n - 1)-гомотопический тип. Если K ~_n L, то K ~_m L при любом m ≤ n. Это остается справедливым и при n = ∞, если под ∞-ти-пом понимать Г. т. Другими словами, понятие n-типа гомотопически инвариантно. Важность понятия n-типа для проблемы Г. т. определяется тем, что два n-мерных клеточных разбиения тогда и только тогда гомотопически эквивалентны, когда они имеют один и тот же (n+1)-тип.

Пусть X - произвольное пространство (для простоты - линейно связное). Симплициальное подмножество М(Х) симплициального множества S(X) наз. минимальным, если оно содержит все сингулярные симплексы, являющиеся отображениями в нек-рую фиксированную точку х₀ ∈ Х, и если для любого симплекса σ ∈ S(X), все грани к-рого принадлежат подмножеству М(Х), в М(X) существует единственный симплекс, гомотопный σ (относительно границы стандартного симплекса). Минимальные подмножества существуют и, с точностью до изоморфизма, однозначно определяются пространством X. При этом два пространства тогда и только тогда слабо гомотопически эквивалентны, когда их минимальные симплициальные множества изоморфны. Таким образом, для решения проблемы слабого Г. т. остается лишь найти достаточно удовлетворительное описание симплициальных множеств М(Х).

Пусть Δ_q есть q-мерный стандартный симплекс, рассматриваемый как симплициальное разбиение (относительно его стандартной триангуляции) и пусть Сⁿ(Δ_q, π) - группа его n-мерных коцепей над абелевой группой π (точнее, группа нормализованных n-мерных коцепей симплициального множества O(Δ_q)). Пусть E(π, n) - симплициальное множество, в к-ром симплексами размерности q являются коцепи из Сⁿ(Δ_q, π), а операторы грани ∂_i и вырождения s_i являются коренными отображениями, индуцированными стандартными симплициальными отображениями е_i : О(Δ_q-1) → О(Δ_q) и f : О(Δ_q+1) → О(Δ_q) (отображение е_i «выпускает» i-ю вершину, а отображение f_i «склеивает» i-ю и (i + 1)-ю вершины). Симплексы, являющиеся коциклами, образуют в Е(π, n) некоторое симплициальное подмножество K(π, n). Кограничный оператор δ : Сⁿ(Δ_q, π) → Сⁿ(Δ_q, π) определяет симплициальное отображение δ : Е(π, n) → K(π, n+1), ядром к-рого служит подмножество K(π, n). Отображение δ является расслоением (в смысле Кана) со слоем K(π, n). Кроме того, симплициальное множество K(π, n) является в категории симплициальных множеств объектом типа K(π, n) (по отношению к гомотопич. группам в смысле Кана, см. Эйленберга-Маклейна пространство), а симплициальное множество K(π, n) гомотопически тривиально (гомотопически эквивалентно «точке»). Таким образом, расслоение δ является симплициальным аналогом Серра расслоения путей над пространством типа K(π, n+1).

Симплициальное множество K(π, n) при n = 1 имеет смысл и для любой (не обязательно абелевой) группы π. Получающееся симплициальное множество K(π, 1) есть не что иное, как стандартная симплициальная резольвента группы π.

Пусть π₁ - мультипликативная группа операторов аддитивной группы π. Для любого коцикла а произвольного симплициального множества N над группой π₁ в группе коцепей этого множества над группой π определен кограничный оператор δ_a относительно коцикла а. Пусть σ - произвольный q-мерный симплекс из N и пусть t_σ : O(Δ_q) → N - его характеристическое отображение (см. Симплициальное множество). Тогда в О(Δ_q) определен коцикл t^*_σ(a). Пусть кограничный оператор относительно этого коцикла обозначен символом σ_a,σ. Пусть k_n+1 - произвольный (n + 1)-мерный коцикл симплициального множества N над группой π относительно коцикла а. Если в прямом произведении симплициальных множеств N и Е(π, n) рассмотреть подмножество Р = Р (N, kⁿ⁺¹), состоящее из всевозможных пар (σ, u), σ ∈ N, u ∈ Е(π, n), для к-рых t^*_σ(kⁿ⁺¹) = δ_a,σ u, то Р будет симплициальным подмножеством. Формула р(σ, u) = σ определяет надъективное (сюръективное) отображение р : Р → N, являющееся расслоением (в смысле Кана). Это расслоение будет обозначаться р(N, kⁿ⁺¹). В случае, когда коцикл а тривиален, это есть не что иное как расслоение, индуцированное симплициальным отображением N → K(π, n+1), отвечающим коциклу kⁿ⁺¹, из расслоения Е(π, n) ↦ K(π, n+1). Над n-мерным остовом Nⁿ симплициального множества N расслоение р обладает сечением σ → (σ, 0), и коцикл kⁿ⁺¹ является препятствием к распространению этого сечения на Nⁿ⁺¹. После отождествления симплексов σ и (σ, 0) можно считать, что Nⁿ ⊂ Pⁿ. При этом N^n-1 = P^n-1.

Пусть теперь имеется последовательность расслоений симплициальных множеств

(1)

начальный член Р₁ к-рой является симплициальным множеством K(π₁, 1), построенным для мультипликативной группы π₁. По определению, одномерные симплексы из Р₁ находятся в естественном биективном соответствии с элементами группы π₁. Сопоставление каждому такому симплексу соответствующего элемента группы π₁ приводит в Р₁ к нек-рому одномерному коциклу a₁ над группой π₁. Пусть коцикл а_n определяется в Р_n индуктивной формулой a_n = p^*_n-1(a_n-1). Последовательность (1) наз. гомотопической резольвентой, или Постникова системой (первоначальное название - натуральная система), если для любого n ≥ 1 симплициальное множество Р_n+1 есть множество вида Р(Р_n, kⁿ⁺²_n), где kⁿ⁺²_n - коцикл размерности n+2 в Р_n над нек-рой π₁-группой π_n+1 относительно коцикла а_n [и расслоение р_n есть расслоение р(Р_n, kⁿ⁺²_n)]. Эта последовательность наз. резольвентой симплициального множества М, если для любого n ≥ 1 задано симплициальное отображение q_n : М → Р_n, являющееся изоморфизмом на Мⁿ и такое, что p_n○q_n+1 = q_n. Резольвента определяет симплициальное множество М однозначно с точностью до изоморфизма. С другой стороны, сама резольвента однозначно определяется группами π₁, π₂, ..., π_n, ... и коциклами k³₁, ..., kⁿ⁺²_n, ... Поэтому резольвентой можно называть также и объект {π_n, kⁿ⁺²_n}, состоящий из групп π_n и коциклов kⁿ⁺²_n.

Не всякое симплициальное множество М обладает резольвентой. Основная теорема теории гомотопич. резольвент утверждает, что симплициальное множество М тогда и только тогда обладает резольвентой, когда оно изоморфно минимальному симплициальному множеству М(X) нек-рого топологич. пространства X. При этом π_n = π_n(Х).

Резольвента минимального множества М = М(Х) строится следующим образом. Пусть σ - произвольный q-мерный симплекс из М(X). Этот симплекс представляет собой отображение σ : Δ_q → X, переводящее все вершины симплекса Δ_q в точку х₀. Поэтому на любой одномерной грани (ребре) симплекса оно определяет нек-рый элемент группы π₁ = π₁(Х, х₀). Таким образом на Δ_q возникает нек-рый одномерный коцикл над группой π₁, т. е. q-мерный симплекс из P₁ = Х(π₁, 1); он будет обозначаться q₁(σ). Тем самым получено нек-рое (симплициальное) отображение q₁ : M → Р₁. Это отображение является изоморфизмом на М¹ и эпиморфизмом на М². Далее проводится индукция: пусть для нек-рого n ≥ 1 уже построено симплициальное множество Р_n и симплициальное отображение q_n : M → P_n, являющееся изоморфизмом на Мⁿ и эпиморфизмом на Мⁿ⁺¹. Для отображения q_n| Mⁿ⁺¹ существует обратное справа отображение q'_n : Pⁿ⁺¹_n → Mⁿ⁺¹. Пусть kⁿ⁺²_n - препятствие к распространению этого отображения на Мⁿ⁺². Препятствие kⁿ⁺²_n является (n + 2)-мерным коциклом в Р_n над группой π_n+1 = π_n+1(Х) относительно коцикла а_n. Для любого (n + 1)-мерного симплекса τ из М симплекс q'_nq_n(τ) = τ' сравним с τ, и потому определен различающий элемент d(τ, τ') ∈ π_n+1 (см. Различающая). Пусть σ - произвольный q-мерный симплекс из М. На каждой (n + 1)-мерной грани симплекса Δ_q он определяет некоторый (n + 1)-мерный симплекс τ. Сопоставление этой грани элемента d(τ, τ') приводит к некоторой (n + 1)-мерной коцепи в Δ_q над π_n+1, то есть к некоторому ^-мерному симплексу r_n(σ) симплициального множества E(π_n+1, n + 1). Пара g_n+1(σ) = (g_n(σ), r_n(σ)) принадлежит симплициальному множеству Р_n+1 = Р(Р_n, kⁿ⁺²_n). Для завершения индукции остается заметить, что построенное отображение q_n+1 : М → Р_n+1 симплициально, является изоморфизмом на Мⁿ⁺¹ и эпиморфизмом на Мⁿ⁺².

Резольвента {π_n, kⁿ⁺²_n} строится по симплициальному множеству М(X) неоднозначно: имеется произвол в выборе обратных отображений q'_n. Проще всего описать эту неоднозначность, понимая резольвенты в смысле (1). Именно, две такие резольвенты {Р̅_n, р̅_n} и {Р_n, р_n} тогда и только тогда возникают из одного минимального симплициального множества М(Х), когда они изоморфны как последовательности отображений, т. е. когда для любого n ≥ 1 существует такой изоморфизм θ̅_n : Р_n → Р̅_n, что θ_n ○ p_n = p̅_n ○ θ_n+1. Чтобы описать этот изоморфизм в терминах резольвент {π_n, kⁿ⁺²_n} и {π_n, k̅ⁿ⁺²_n}, следует заметить, что существование изоморфизма θ₁ : Р₁ → Р̅₁ равносильно существованию изоморфизма групп ₁ : π₁ → π̅₁. При этом θ^*₁(a₁) = ₁(a₁). Далее, для изоморфизма θ_n : Р_n → Р̅_n тогда и только тогда существует следующий изоморфизм θ_n+1 : Р_n+1 → Р̅_n+1, когда существует такой ₁-изоморфизм _n+1 : π_n+1 → π̅_n+1 (см. Операторный гомоморфизм) и такая коцепь lⁿ⁺¹ ∈ Сⁿ⁺¹(Р_n, π̅_n+1), что

(2)

При этом изоморфизм θ_n+1 определяется формулой

(2')

Резольвенты {π_n, kⁿ⁺²_n} и {π_n, k̅ⁿ⁺²_n} тогда и только тогда возникают из одного минимального симплициального множества, когда существуют такие изоморфизмы _n : π_n → π̅_n, являющиеся при n > 1 ₁-изоморфизмами, что для любого n ≥ 1 выполнены соотношения (2), где θ_n- изоморфизм, последовательно определяемый при n > 1 формулой (2'), а при n = 1 являющийся изоморфизмом, индуцированным изоморфизмом ₁. В этом случае резольвенты {π_n, kⁿ⁺²_n} и {π̅_n, k̅ⁿ⁺²_n} наз. изоморфными. Гомотопической резольвентой пространства X наз. резольвента симплициального множества М(Х). Резюмируя, получаем, что два пространства тогда и только тогда слабо гомотопически эквивалентны, когда их гомотопич. резольвенты изоморфны; в частности, два клеточных разбиения тогда и только тогда гомотопически эквивалентны, когда их гомотопические резольвенты изоморфны.

Если условия (2) выполнены только при n < m, то изоморфизмы θ_n существуют только при n ≤ m. В этом случае говорят, что данные резольвенты m-изоморфны. Два клеточных разбиения тогда и только тогда имеют один и тот же n-тип, когда их гомотопич. резольвенты (n - 1)-изоморфны.

Изложенное решение проблемы Г. т. (и n-типа) позволяет доказывать целый ряд общих теорем и существенно проясняет принципиальную сторону дела (но явное вычисление резольвент возможно лишь в немногих случаях). Из него вытекает, что для любого односвязного пространства с конечными группами гомологии гомотопич. группы могут быть эффективно вычислены. Аналогичное утверждение справедливо и для пространств, группы гомологии к-рых лишь конечно порождены (см. [2]). Тот факт, что Г. т. полностью определяется резольвентой, показывает, что любая задача теории гомотопий сводится к нек-рому утверждению о резольвентах соответствующих пространств. Это позволяет классифицировать задачи по числу коциклов kⁿ⁺²_n, участвующих в их решении. Если рассматриваемое пространство (п- 1)-связно, то его резольвента начинается фактически с члена Р_n = К(π_n, n). Если решение данной задачи может быть сформулировано лишь с использованием первой нетривиальной группы π_n, то эта задача наз. задачей нулевой ступени [напр., задача Хопфа-Уитни о классификации отображений n-мерного полиэдра в (n - 1)-связное пространство]. Если для этого требуются группы π_n, π_n+1 и коцикл kⁿ⁺²_n, то задача наз. задачей первой ступени [напр., задача о классификации отображений (n+1)-мерного полиэдра в (n-1)-связное пространство]. Аналогично определяются задачи второй, третьей и т. д. ступеней. Известны эффективные решения любых задач нулевой и первой ступеней. Это связано с тем, что для любого (n-1)-связного пространства можно вполне эффективно вычислить класс когомологий коцикла kⁿ⁺²_n; именно, он имеет вид Sq²_ηι, где ι - фундаментальный класс пространства К(π_n, n), а Sq²_η -при n > 2 - Стинрода операция, соответствующая естественному спариванию η : π_n ⊗ π_n → π_n+1, а при n = 2 - некоторый ее вариант, известный как Понтрягина квадрат. Для задач высших ступеней необходимо аналогичное эффективное вычисление следующих коциклов kⁿ⁺³_n+1, kⁿ⁺⁴_n+2, ... . Каждый из этих коциклов получается из фундаментального класса с применением нек-рой когомологической операции соответствующего порядка. Это, в частности, показывает, что решение любой задачи теории гомотопий может быть сформулировано в терминах определенных когомологич. операций. Однако ввиду большой сложности операций высших порядков получены лишь решения отдельных задач высших ступеней, использующие соображения специального характера. Нек-рый общий прогресс достигнут в предположении стационарности: продвинутое в этих предположениях уже довольно далеко вычисление дифференциалов спектральной последовательности Адамса равносильно вычислению нек-рых стационарных операций высоких порядков.

Теория гомотопич. резольвент может быть переформулирована в следующей, «геометризованной» форме. Резольвентой наз. произвольная последовательность расслоений в смысле Серра

(3)

в к-рой каждое пространство Х_n обладает тем свойством, что π_m(Х_n) = 0 при m > n. Эта последовательность наз. резольвентой пространства X, если для любого n ≥ 1 заданы отображения q_n : Х → Х_n, индуцирующие изоморфизм гомотопич. групп до размерности n и такие, что p_n ○ q_n = q_n. Эта резольвента с точностью до изоморфизма [понимаемого как изоморфизм последовательностей (см. Последовательностей категория)] определяется однозначно группами π_n = π_n(Х) и характеристич. классами kⁿ⁺²_n расслоений р_n. Резольвента существует для любого линейно связного пространства X [таковой будет, напр., геометрическая реализация «алгебраической» резольвенты (1)] и определяет это пространство с точностью до слабой гомотопич. эквивалентности. Слоем расслоения р_n : Х_n+1 → Х_n является пространство типа K(π_n+1, n + 1), и в случае, когда X гомотопически n-просто (см. Гомотопическая группа), напр., односвязно, это расслоение индуцировано из Серра расслоения путей над пространством K(π_n+1, n + 2) посредством нек-рого отображения Х_n → Х(π_n+1, n + 2), представляющего (см. Эйленберга-Маклейна пространство, Представимый функтор) класс когомологий kⁿ⁺²_n.

Если пространство X (n-1)-связно, то его резольвента фактически начинается с члена X_n = Х(π_n, n). При n > 1 удобно наряду с «абсолютными» резольвентами (3) рассматривать также так наз. резольвенты по модулю простого числа р, определение к-рых отличается от определения резольвент (3) только тем, что гомотопич. группы заменяются их р-компонентами. Если для X найдены резольвенты по любому простому модулю р, нахождение «абсолютной» резольвенты, как правило, не представляет труда. Поэтому в задаче вычисления резольвент (включающей задачу вычисления гомотопич. групп) обычно ограничиваются «модульными» резольвентами, в вычислении к-рых могут быть использованы мощные методы теории спектральных последовательностей и теории когомологич. операций. Для нек-рых пространств вычисление резольвент далеко продвинуто.

Например, для сферы Sⁿ (при n достаточно большом, чтобы выполнялись условия стационарности) известно уже довольно много первых членов ее резольвенты по модулю 2. Достаточно описать соответствующие группы π_n+r [то есть 2-компоненты групп π_n+r(Sⁿ)] и классы когомологий k^n+r+2_n+r. Первые группы π_n+r имеют следующий вид

Класс kⁿ⁺²_n имеет вид Sq²ι ∈ Hⁿ⁺²(ℤ, n; ℤ²), где ι ∈ Hⁿ(ℤ, ℤ₂) - фундаментальный класс. Следующий класс kⁿ⁺³_n+1 ∈ Hⁿ⁺³(X₁; ℤ₂) обладает тем свойством, что на слое K(ℤ₂, n+1) расслоения р_n он высекает класс Sq²ι_n+1 ∈ Hⁿ⁺³ (ℤ₂, n + 1, ℤ₂) и однозначно этим свойством характеризуется. Аналогично, класс kⁿ⁺⁴_n+2 ∈ Hⁿ⁺⁴(X₂; ℤ₈) однозначно характеризуется тем, что после приведения по модулю 2 он переходит в класс Sq⁴ι ∈ Hⁿ⁺⁴(X₂; ℤ₂). Классы kⁿ⁺⁵_n+3 и kⁿ⁺⁶_n+4 равны нулю, а класс kⁿ⁺⁷_n+5 ∈ Hⁿ⁺⁷(X₅; ℤ₂) однозначно характеризуется тем, что на слое K(ℤ₈, n + 3) расслоения р_n+2 он высекает класс Sq⁴ι_n+3 ∈ Hⁿ⁺⁷(ℤ₈, n + 3, ℤ₂) Наконец, класс kⁿ⁺⁸_n+6 ∈ Hⁿ⁺⁸(Х_n+6; ℤ₁₆) характеризуется тем, что после приведения по модулю 2 он переходит в класс Sq⁴ι ∈ Hⁿ⁺⁸(X_n+6; ℤ₂).

Лит.: [1] Постников М. М., Исследования по гомотопической теории непрерывных отображений, ч. 1, Алгебраическая теория систем, ч. 2, Натуральная система и гомотопический тип, М., 1955; [2] Браун Э. X., «Математика», 1958, 2 : 2, с. 3-24; [3] Мошер Р., Тангора М., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. С англ., М., 1970, гл. 13.

М. М. Постников.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.