ГОМОТЕТИЯ

ГОМОТЕТИЯ - преобразование евклидова пространства относительно нек-рой точки О, ставящее в соответствие каждой точке М точку М', лежащую на прямой ОМ, по правилу

ОМ' = kOМ,

где k - постоянное, отличное от нуля число, наз. коэффициентом Г. Точка О наз. центром Г. При k > 0 точки М и M' лежат на одном луче, при k < 0 - по разные стороны от центра. Точке О соответствует сама эта точка. Г. есть частный случай подобия. Две фигуры наз. гомотетичными (а также подобными и подобно расположенными, или перспективно-подобными), если каждая состоит из точек, получаемых преобразованием Г. из другой фигуры относительно нек-рого центра Г.

Простейшие свойства Г.: Г. есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства в себя с одной неподвижной точкой. При k = 1 Г. есть тождественное преобразование. Г. переводит прямую (плоскость), проходящую через центр Г., в себя, прямую (плоскость), не проходящую через центр,- в прямую (плоскость), ей параллельную; углы между прямыми (плоскостями) при Г. сохраняются. Отрезки при Г. переходят в параллельные им отрезки с длиной, уменьшенной или увеличенной в |k| раз, т. е. Г. есть сжатие (растяжение) евклидова пространства к точке О. Всякая сфера при Г. преобразуется в сферу, причем центр одной переходит в центр другой.

Г. задается чаще всего (геометрически) центром Г. и парой соответственных точек или двумя парами соответственных точек. Г. есть аффинное преобразование, имеющее одну (и только одну) двойную точку.

В n-мерных евклидовых пространствах Г. оставляет инвариантными каждую из совокупностей S_k(k = 1, 2, ..., n-1) k-мерных плоскостей пространства.

Аналогично определяется Г. в псевдоевклидовых пространствах. Г. в римановых пространствах и в псевдоримановых пространствах определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя. Совокупность Г. составляет группу преобразований Ли, причем r-членная группа Г. риманова пространства содержит (r-1)-членную нормальную подгруппу движений.

И. П. Егоров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.