ГОМОМОРФИЗМ

ГОМОМОРФИЗМ - морфизм в категории алгебраических систем. Г. - отображение алгебраич. системы А, сохраняющее основные операции и основные отношения; точнее, пусть А = 〈А, {о_i : i ∈ I}, {r_i : j ∈ J}〉 - алгебраич. система с основными операциями о_i, i ∈ I и основны ми отношениями r_j, j ∈ J Г. системы А в однотипную ей систему А' = 〈А', {о'_i : i ∈ I {r'_j : j ∈ J}〉 наз. отображение φ : А → А', удовлетворяющее следующим двум условиям:

φ(o_i(a₁, ..., a_ni)) = о'_j(φ(a₁), ..., φ(а_ni)), (1)

(а₁, ..., а_m) ∈ r_j ⇒ (φ(а₁), ..., φ(a_m)) ∈ r'_j, (2)

для всех элементов а₁, а₂, ... из А и всех i ∈ I, j ∈ J.

Если каждому элементу i из I сопоставлен некоторый n_i-арный функциональный символ F_i, а каждому элементу j из J - m_j-местный предикатный символ Р_j и в каждой системе А', однотипной системе А, результат i-й основной операции о'_i, примененной к элементам х₁, ..., х_ni из А', записан в виде F(х₁, ..., х_ni), а вместо (х₁, ..., х_mj) ∈ r'_j пишут Р(х₁, ..., х_mj). Условия (1), (2) при этом упрощаются и принимают вид

φ(F_i(a₁, ..., a_ni)) = F_i(φ(а₁), ..., φ(а_ni)),

P_j(a₁, ..., a_mj)) ⇒ P_j(φ(а₁), ..., φ(а_mj)),

Г. ф : А → А' наз. сильным, если для любых элементов a'₁, ..., a'_mj из А' и для любого предикатного символа P_j, j ∈ J, условие P_j(a'₁, ..., a'_mj) влечет существование в А таких элементов a₁, ..., a_mj, что a'₁ = φ(a₁), ..., а'_mj = φ(а_mj), и выполняется соотношение Р_j(a₁, ..., a_mj).

Для алгебр понятия Г. и сильного Г. совпадают. Для моделей существуют Г., к-рые не являются сильными, и взаимно однозначные Г., к-рые не являются изоморфизмами.

Если φ - Г. алгебраич. системы А на алгебраич. систему А' и θ - ядерная конгруэнция для Г. ф, то отображение ψ : (A/θ) → A', определяемое формулой ψ(а/θ) = φ(а), является Г. факторсистемы А/θ на алгебраич. систему А'. Если при этом φ - сильный Г., то ψ есть изоморфизм. Это - одна из самых общих формулировок теоремы о Г.

Следует отметить, что иногда Г. наз. также морфизмы в категориях, отличных от категорий алгебраич. систем. (Напр., Г. графов, Г. пучков, Г. групп Ли).

Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы. М., 1970; [2] Chang С. С., Keisler Н. J., Model theory, Amsterdam, 1973.

Д. М. Смирнов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.