НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ГОМОМОРФИЗМ

ГОМОМОРФИЗМ - морфизм в категории алгебраических систем. Г. - отображение алгебраич. системы А, сохраняющее основные операции и основные отношения; точнее, пусть А = 〈А, {оi : i ∈ I}, {ri : j ∈ J}〉 - алгебраич. система с основными операциями оi, i ∈ I и основны ми отношениями rj, j ∈ J Г. системы А в однотипную ей систему А' = 〈А', {о'i : i ∈ I {r'j : j ∈ J}〉 наз. отображение φ : А → А', удовлетворяющее следующим двум условиям:

φ(oi(a1, ..., ani)) = о'j(φ(a1), ..., φ(аni)), (1)

1, ..., аm) ∈ rj ⇒ (φ(а1), ..., φ(am)) ∈ r'j, (2)

для всех элементов а1, а2, ... из А и всех i ∈ I, j ∈ J.

Если каждому элементу i из I сопоставлен некоторый ni-арный функциональный символ Fi, а каждому элементу j из J - mj-местный предикатный символ Рj и в каждой системе А', однотипной системе А, результат i-й основной операции о'i, примененной к элементам х1, ..., хni из А', записан в виде F(х1, ..., хni), а вместо (х1, ..., хmj) ∈ r'j пишут Р(х1, ..., хmj). Условия (1), (2) при этом упрощаются и принимают вид

φ(Fi(a1, ..., ani)) = Fi(φ(а1), ..., φ(аni)),

Pj(a1, ..., amj)) ⇒ Pj(φ(а1), ..., φ(аmj)),

Г. ф : АА' наз. сильным, если для любых элементов a'1, ..., a'mj из А' и для любого предикатного символа Pj, j ∈ J, условие Pj(a'1, ..., a'mj) влечет существование в А таких элементов a1, ..., amj, что a'1 = φ(a1), ..., а'mj = φ(аmj), и выполняется соотношение Рj(a1, ..., amj).

Для алгебр понятия Г. и сильного Г. совпадают. Для моделей существуют Г., к-рые не являются сильными, и взаимно однозначные Г., к-рые не являются изоморфизмами.

Если φ - Г. алгебраич. системы А на алгебраич. систему А' и θ - ядерная конгруэнция для Г. ф, то отображение ψ : (A/θ) → A', определяемое формулой ψ(а/θ) = φ(а), является Г. факторсистемы А/θ на алгебраич. систему А'. Если при этом φ - сильный Г., то ψ есть изоморфизм. Это - одна из самых общих формулировок теоремы о Г.

Следует отметить, что иногда Г. наз. также морфизмы в категориях, отличных от категорий алгебраич. систем. (Напр., Г. графов, Г. пучков, Г. групп Ли).

Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы. М., 1970; [2] Chang С. С., Keisler Н. J., Model theory, Amsterdam, 1973.

Д. М. Смирнов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru