ГОМОЛОГИЧЕСКОЕ ОПОЯСЫВАНИЕ

ГОМОЛОГИЧЕСКОЕ ОПОЯСЫВАНИЕ - метод, позволяющий характеризовать размерность компакта, лежащего в евклидовом пространстве ℝⁿ, в терминах метрич. свойств дополнительного пространства. Назовем мерой существенности цикла z компакта Ф ⊂ ℝⁿ верхнюю грань тех ε > 0, для к-рых можно подобрать такой компактный носитель Ф₁ ⊆ Ф цикла z, что цикл не гомологичен нулю в О(Ф₁, ε). Назовем р-мерным гомологическим поперечником α^p_Гz цикла z открытого множества Г = Rⁿ\Ф нижнюю грань р-мерных поперечников тел всех циклов, гомологичных в Г циклу z. Здесь под р-мерным поперечником α^pХ компакта X ⊂ ℝⁿ понимается нижняя грань тех ε > 0, для к-рых существует непрерывный ε-сдвиг компакта t X в р-мерный компакт (и потому полиэдр).

Всякий (n - 1)-мерный цикл открытого множества Г = ℝⁿ\Ф, зацепленный с каждой точкой компакта Ф, наз. мешком вокруг компакта Ф.

Теорема о мешках. Пусть r = dim Ф ≤ n - 1. Тогда существует такое α > 0, что всякий мешок вокруг компакта Ф имеет (r - 1)-мерный гомологич. поперечник, больший α, тогда как r-мерный гомологич. поперечник любого цикла в Г равен нулю. При этом всегда имеются мешки вокруг Ф со сколь угодно малой мерой существенности. Если же dim Ф = n, то существует такое α > 0, что для всякого мешка z^n-1 вокруг Ф выполняется μ^n-1 > α (при этом α_Г^n-2z^n-1 > α_Г^n-1z^n-1 = 0 для всех мешков z^n-1).

Теорема о мешках может быть еще более усилена с помощью понятия пояса вокруг компакта.

Теорема о поясах. Пусть Ф ⊂ ℝⁿ - компакт размерности r. Существует такое γ > 0, что для любого k = 1, 2, ..., r+1 и любого ε > 0 в Г = ℝⁿ\Ф имеется (n - k)-мерный цикл v (пояс размерности n - k: вокруг Ф), при k > 1 ограничивающий в Г, для к-рого β^r-k+1v < ε) τv < ε и, кроме того, для всякого цикла w, гомологичного циклу v в γ-окрестности последнего относительно Г имеет место β^r-n+1х > γ; для всякой цепи х, ограниченной циклом v в Г, имеет место β^r-n+1x > γ.

С другой стороны, если s > r и k = 1, ..., s+1 то при любом γ > 0 всякий (n-k)-мерный цикл z в Г, для к-рого τz < γ, гомологичен в своей γ-окрестности (относительно Г) нек-рому циклу z' со сколь угодно малым β^s-kz'. Далее, если s > r и k = 2, 3, ..., s+1, то при произвольном γ > 0 всякий (n-k)-мерный цикл z, ограничивающий в Г, для к-рого β^s-k+1z < γ (и τz < γ при s = n - 1), ограничивает в Г цепь х с β^s-n+1х < γ. Здесь через β^pх, р ≥ 0, обозначена нижняя грань тех ε > 0, для к-рых существует ε-сдвиг вершин цепи х, посредством к-рого цепь х вырождается до размерности р; через τх обозначена нижняя грань тех τ > 0, для к-рых существует ε-сдвиг вершин х, переводящий х в нулевую цепь.

Лит.: [1] Александров П. С., Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.

А. А. Мальцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.