ГОМОЛОГИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ

ГОМОЛОГИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ, обобщенное многообразие,- локально компактное топологич. пространство, локальная гомологич. структура к-рого аналогична локальной структуре обычных топологич. многообразий, в том числе многообразий с краем. Более точно, гомологическим n-многообразием (обобщенным n-многообразием) над группой или модулем G коэффициентов наз. локально компактное топологич. пространство X, имеющее конечную гомологическую размерность над G и такое, что все его локальные гомологии группы H^x_p при р ≠ n тривиальны, а при р = n либо изоморфны G, либо равны нулю. Здесь H^x_p есть прямой предел групп Н_p(Х, X\U; G), взятый по всем окрестностям U точки х ∈ X, причем под Н понимается теория гомологии, удовлетворяющая всем Стинрода-Эйленберга аксиомам, включая аксиому точности; в категории локально стягиваемых пространств теория Н, рассматриваемая с компактными носителями, изоморфна сингулярной (см. Сингулярные гомологии). Группы Н^x_n автоматически оказываются слоями нек-рого пучка ℋ_n (см. Пучков теория), называемого ориентирующим пучком многообразия X. Г. м. X наз. ориентируемым, если пучок ℋ_n изоморфен постоянному пучку X × G, и локально ориентируемым, если ℋ_n является локально постоянным в точках, где Н^x_n ≠ 0. Если G - кольцо главных идеалов и все Н^x_n отличны от нуля, то Г. м. над G всегда локально ориентируемо. Если Г. м. над группой G локально ориентируемо, то множество всех х ∈ Х, в к-рых Н^x_n = 0, замкнуто, нигде не плотно и образует край Г. м. X. Локально ориентируемое Г. м. X имеет те же гомологич. свойства, что и обычные многообразия.

Например, для X верна теорема об инвариантности области, h dim_GX = n, множество А' нигде не плотно в X в том и только в том случае, если h dim_GA ≤ n-1, и т. д.

Для всякого Г. м. над G имеют место естественные изоморфизмы (Пуанкаре двойственность)

Н_p(Х; G) = H^n-p(X; ℋ_n)

(когомологий с коэффициентами в пучке). Здесь р -любое целое число, но гомологич. размерность Г. м. X над G равна n, и потому изоморфизмы имеют нетривиальное содержание только при 0 ≤ p ≤ n. Аналогичные изоморфизмы имеют место для гомологии и когомологий с носителями в любом паракомпактифицирующем семействе (в частности, для гомологии и когомологий с компактными носителями). Условие изоморфизма между ненулевыми слоями Н^x_n пучка ℋ_n и группой G не является существенным. Можно также вместо группы G рассматривать любой локально постоянный пучок коэффициентов ℊ со слоем G (при этом ℋ_n изменится). Любое открытое подмножество U ⊂ X является Г. м.; поэтому использование равенств

H_p(U; G) = H_p(X, X\U; G), H^q_c(U; G) = H^q(X, X\U; G),

из к-рых во втором U имеет компактное замыкание, а индекс с указывает на компактность носителей, позволяет получать как частные случаи двойственности Пуанкаре изоморфизмы

H_p(X, X\U; G) = H^n-p(U, ℋ_n), H^c_p(U; G) = H^n-p(X, X\U; ℋ_n).

Сопоставление точных гомологич. и когомологич. последовательностей соответствующих пар позволяет в качестве частных случаев двойственности Пуанкаре рассматривать также изоморфизмы

H_p(X\U; G) = H^n-p(X, U; ℋ_n)

и

Н_p(Х, U; C) = H^n-p(X\U; ℋ_n),

последний из к-рых является обобщением Александера двойственности. Аналогинные соотношения имеют место для гомологии и когомологий с носителями в нек-ром фиксированном семействе.

Пусть

H_p(A; G) = H_p+1(X; G) = 0

и пусть X компактно, a Y - замкнутое или открытое подмножество. Следствием предыдущих изоморфизмов и точности гомологии и когомологий является изоморфизм

H^c_p(X\Y; G) = H^n-p-1(Y; ℋ_n),

представляющий собой Понтрягина двойственность при замкнутом Y и Стинрода двойственность при открытом Y. Отсюда и из свойства непрерывности когомологий вытекает, что изоморфизм

H^c_p(X\Y; G) = H^n-p-1(Y; ℋ_n)

имеет место для любого подмножества Y ⊂ X (двойственность Ситникова). В случае некомпактного X вместо гомологии с компактными носителями следует рассматривать гомологии с носителями, замкнутыми во всем X. Если X компактно, то при р = 0 следует использовать приведенные гомологии.

Нетривиальными примерами Г. м. являются «сомножители» обычных многообразий, напр. евклидовых пространств: если для топологич. пространства X существует такое Y, что декартово произведение X × Y есть Г. м., то X и Y - тоже Г. м. Известны примеры Г. м., не являющихся локально евклидовыми ни в одной своей точке. Г. м. играют существенную роль в нек-рых вопросах теории преобразований групп, где они появляются в качестве пространств орбит или множества неподвижных точек.

Имеется когомологич. вариант определения обобщенных многообразий. Всякое когомологическое многообразие над кольцом главных идеалов G является Г. м. над G, а если G не более чем счетно, то верно и обратное.

Лит.: [1] Cech Е., «Аnn. Math.», 1933, v. 34, p. 621-730; [2] Lefschetz S., «Аmеr. J. Math.», 1933, v. 35, p. 469-573; [3] Александров П. С., «Аnn. Math.», 1935, v. 36, p. 1-35; [4] Алeксандpов П. С., Понтрягин Л. С., «С. r. Acad. sci.», 1936, t. 202, p. 1327-329; [5] Smith P. A., «Ann. Math.», 1939, v. 40, p. 690-712; [6] Begle E., «Аmеr. J. Math.», 1942, v. 64, p. 553-73; [7] Wilder R., Topology of manifolds, N. Y., 1949; [8] Borel A., «Mich. Math. J.», 1957, v. 4, p. 227-39; [9] Yang С. Т., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1958, v. 87, p. 261-83; [10] Conner P. E., Floyd E. E., «Mich. Math. J.», 1959, v. 6, p. 33-43; [11] Raymond F., там же, 1960,v. 7, p. 7-21; [12] Bredon G. E., там же, p. 35-64; [13] Borel A., «Ann. Math. studies», 1960, № 46, p. 23-33; [14] Bredon G. E., «Рrос. Nat. Acad. Sci. USA», 1969, v. 63, № 4, p. 1079-81.

E. Г. Скляренко.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.