ГОМОЛОГИЧЕСКИЙ ФУНКТОР

ГОМОЛОГИЧЕСКИЙ ФУНКТОР - функтор на абелевой категории, определяющий нек-рую гомологич. конструкцию на этой категории. Система H = (H_i)_i ∈ ℤ ковариантных аддитивных функторов из абелевой категории в абелеву категорию ' наз. гомологическим функтором, если выполняются следующие аксиомы.

1) Для всякой точной последовательности

0 → A' → A → A'' → 0 в категории задан морфизм ∂_i:H_i+1(A'') → H_i(A'), к-рый наз. связывающим, или граничным, морфизмом.

2) Последовательность

наз. гомологической последовательностью, является точной.

Пусть, напр., = K(Аb) - категория цепных комплексов абелевых групп, (Аb) - категория абелевых групп. Функторы Н_i : К(Ab) → (Ab), ставящие в соответствие комплексу K. соответствующие группы гомологии H_i(K.), определяют Г. ф.

Пусть F : A ↦ A' - нек-рый аддитивный ковариантный функтор, для к-рого определены левые производные функторы R_iF(R_iF = 0, i < 0). Тогда система (R_iF)_i∈I определяет Г. ф. из в '.

Еще одним примером Г. ф. может служить гипергомологий функтор.

Двойственным образом определяется когомологический функтор.

Лит.: [1] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.