ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ пространства X по группе коэффициентов G - наибольшее целое число n, при к-ром для нек-рого замкнутого множества А ⊂ Х отлична от нуля группа H_n(Х, A; G) гомологии Александрова-Чеха. Г. р. обозначается dim_GA. Аналогично определяется когомологическая размерность - наименьшее целое n, для которого отображение Нⁿ(Х; G) → Hⁿ(A; G) эпиморфно для всех замкнутых A ⊂ X. Под гомологической теорией размерности обычно подразумевается ее когомологический вариант, значительно глубже разработанный. Это объясняется тем, что когомологий Александрова-Чеха удовлетворяют всем Стинрода-Эйленберга аксиомам, включая точность, и потому применение когомологий оказалось более эффективным. На категории метризуемых компактов, где между группами Н_n(Х, A; G) и Нⁿ(Х, A; G*) имеет место Понтрягина двойственность, гомологический подход с коэффициентами в компактной группе G эквивалентен когомологическому подходу с коэффициентами в двойственной группе G*; аналогично, оба подхода эквивалентны, если в качестве коэффициентов берутся элементы одного и того же поля G.

Гомологическая теория размерности берет свое начало с утверждения, полученного П. С. Александровым: соотношение dim X ≤ n, где dim - лебегова размерность, эквивалентно тому, что любое непрерывное отображение в n-мерную сферу Sⁿ произвольного замкнутого множества А ⊂ Х может быть продолжено до отображения в Sⁿ всего X. Отсюда было получено, что dim X = dim^ZX, если dim X < ∞, a Z есть группа целых чисел. Затем Л. С. Понтрягиным было замечено, что Г. р. по разным областям коэффициентов не совпадают (вообще же, как это вытекает из формул универсальных коэффициентов, dim^GX ≤ dim X для любого компакта X); таким образом, Г. р. являются вместе с лебеговой размерностью нек-рыми топологич. инвариантами пространства X.

Г. p. dim^GX обладает многими свойствами обычной размерности dim. Именно, если А - замкнутое подмножество из А, то dim^GA ≤ dim^GX; если X = ∪_i=1^∞X_i, где каждое X замкнуто в X, то

dim^GX = max_i dim^G X_i,

и т. п. Справедлива теорема Александрова о препятствии: подмножества евклидова пространства Еⁿ, имеющие Г. р. г, (локально) зацепляются (n - r - 1)-мерными циклами. См. также Размерность.

Центральное место в гомологич. размерности занимают исследования соотношений между Г. р. по различным областям коэффициентов. Возникающие в этом направлении задачи имеют много непосредственных приложений в теории размерности и тесно переплетаются с нек-рыми важнейшими задачами теории групп преобразований. Большую роль играет анализ размерности произведения; напр.,

dim_G(X × Y) = dim_GX + dim_GY,

если G - поле рациональных чисел или поле вычетов по простому модулю, а

dim(X × Y) = dim X + dim Y

для любого компакта Y(dim X < ∞) тогда и только тогда, когда все размерности dim_GX совпадают с dim X.

Внешний облик гомологич. теории размерности существенно изменился в связи с применением аппарата пучков теории, получила самостоятельное развитие когомологич. теория размерности с коэффициентами в пучках (основное определение такое же). Новые методы оказались применимыми к решению ряда задач, связанных с поведением размерности при непрерывных отображениях, а также позволили расширить область применимости теории до категории паракомпактных пространств.

Лит.: [1] Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948; [2] Кузьминов В. И., «Успехи матем. наук», 1968, т. 23, в. 5(143), с. 3-49.

Е. Г. Скляренко.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.