ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ - числовая характеристика объекта категории относительно некоторого выделенного класса объектов этой категории. Основная область применения этого понятия - категории модулей над кольцом.

Пусть ℬ - фиксированный класс объектов абелевой категории и А объект из ℬ, тогда (проективной) гомологической размерностью объекта А относительно класса ℬ наз. наименьшее число п, для к-рого существует точная последовательность вида

0 → В_n → В_n-1 → ... → В₀ → А → 0,

где все B_i из ℬ. Если такого n не существует, то говорят, что Г. р. равна ∞.

Пусть _R (_R) - категория левых (правых) модулей над ассоциативным кольцом R с единицей. Тогда:

а) если ℬ- класс всех проективных левых R-модулей, то соответствующая Г. р. модуля A наз. проективной размерностью и обозначается р⋅d._R(А);

б) если ℬ- класс всех плоских левых R-модулей, то соответствующая Г. р. модуля А наз. слабой размерностью и обозначается w⋅d._R(A). Если -категория левых градуированных модулей над градуированным кольцом R, а ℬ - класс всех левых проективных градуированных R-модулей, то соответствующая Г. р. градуированного R-модуля А наз. градуированной проективной размерностью и обозначается gr. p. d._R(A).

Рассматривается также двойственная конструкция. Если А ∈ _R, то наименьшее число n такое, что существует точная последовательность

0 → A → Q₀ → Q₁ → ... → Q_n → 0,

где все модули Q_i инъективны, наз. инъективной размерностью модуля А и обозначается i. d._R(A).

Пусть A ∈ _R, тогда следующие условия равносильны:

а) i. d._R(A) ≤ n;

б) Extⁿ⁺¹_R(B, А) = 0 для всех B ∈ _R (см. Функтор Ext);

б') Extⁿ⁺¹_R(B, А) = 0 для всех циклических модулей В;

в) Extⁿ_R(B, А) - точный функтор относительно аргумента В;

г) если

0 → A → Y₀ → ... → Y_n-1 → Y_n → 0

- точная последовательность и модули Y_k при 0 ≤ k < n инъективны, то Y_n - инъективный модуль.

Эквивалентны между собой также условия:

а) p. d._R(A) ≤ n;

б) Extⁿ⁺¹_R(A, С) = 0 для всех C ∈ _R;

в) Extⁿ_R(A, С) - тонный справа функтор аргумента С;

г) если

0 → X_n → X_n-1 → ... → X₀ → 0

- точная последовательность и модули при 0 ≤ k < n проективны, то и X_n - проективный модуль.

Если последовательность

0 → А' → А → А'' → 0

- точна, где A', A, A'' ∈ _R, и

d' = p.d._R(A'), d = p.d._R(A), d'' = p.d._R(A''),

то

d' ≤ sup(d, d'' - 1), d'' ≤ sup(d' + l, d), d ≤ sup(d', d'').

Если d < sup(d', d''), то d'' = d' + 1.

Число

l.gl.d.(R) =sup{p.d._R(A) | A ∈ _R}

наз. левой глобальной размерностью кольца R.

l.gl.d.(R) = sup {p.d._R(A) | А -циклический левый R-модуль} = sup{i.d._R(A) | A ∈ _R}.

Если кольцо R обладает композиционным рядом левых идеалов, то

l.gl.d.(R) = sup {p.d.(S) | S ∈ _R, S - простой R-модуль}.

Число

gl.w.d. (R) = sup {w.d.(A) | A ∈ _R}

наз. слабой глобальной размерностью кольца R, при этом

gl.w.d.(R) = sup {w.d._R(А) | А ∈ _R}.

Число

l.f.gl.d.(R) = sup {p.d.(A) | A ∈ _R, p.d._R(A) < ∞}

наз. левой ограниченной глобальной размерностью кольца R.

Сюда же примыкают следующие размерности: если R - алгебра над коммутативным кольцом K, то проективная размерность R-бимодуля R (т. е. левого R ⊗_KR^op-модуля, где R^op - противоположное R кольцо) наз. биразмерностью алгебры R и обозначается bid R;если G - группа, K - коммутативное кольцо, то (ко)гомологической размерностью группы G наз. плоская (проективная) размерность модуля А над групповым кольцом KG с тривиальным действием группы G на K и обозначается (hd._K(G)) cd(G).

Ряд хорошо известных теорем можно переформулировать в терминах Г. р. Напр., теорема Веддерберна-Артина будет иметь вид: кольцо R классически полупросто тогда и только тогда, когда gl.d.(Р) = 0. Кольцо R регулярно (в смысле Неймана) тогда и только тогда, когда w.gl.d.(P) = 0. Равенство bid_KR = 0 для алгебры R над полем K равносильно ее сепарабельности над К. Утверждение о том, что подгруппа свободной абелевой группы свободна, эквивалентно тому, что gl.d.(ℤ) = 1, гдe ℤ - кольцо целых чисел. Кольцо R, для к-рого l.gl.d.(R) ≤ 1 наз. наследственным слева кольцом.

Левая и правая глобальные размерности кольца R могут не совпадать. Если же R нётерово слева и справа, то

l.gl.d.(R) = r.gl.d. (R) = w.gl.d. (R).

Если R → S - гомоморфизм колец, то любой S-модуль _S(A) можно рассматривать и как R-модуль, при этом:

p.d._R(A) ≤ p.d._S(A) + p.d._R(S), w.d._R(A) ≤ w.d._S(A) + w.d._R(_RS), i.d._R(A) ≤ i.d._S(A) + w.d._R(S_R),

Если кольцо R - фильтрованное, то

l.gl.d.(R) ≤ l.gr.gl.d.G(R),

где G(R) - ассоциированное градуированное кольцо.

В ряде случаев изучение Г. р. связано с мощностью рассматриваемых модулей. Это позволяет, в частности, оценивать разность между слабой и проективной размерностями модуля, а также разность между левой и правой глобальными размерностями кольца. Континуум-гипотеза равносильна утверждению о том, что

p.d._{ℝ[х, у, z]} (ℝ(x, y, z)) = 2,

где ℝ - поле действительных чисел, ℝ(х, у, z) - поле рациональных функций, a ℝ[х, у, z] - кольцо многочленов над R.

Большая часть исследований по Г. р. посвящена выявлению связей Г. р. с другими характеристиками модулей и колец. Так, Гильберта теорема о сизигиях утверждает, что

gl.d.K[x₁, ..., x_n] = n,

где К - поле, а К[x₁, ..., x_n] - кольцо многочленов от переменных x₁, ..., x_n над К. К настоящему времени эта теорема значительно обобщена. Г. р. групповых алгебр разрешимых групп тесно связана с длиной разрешимого ряда группы и рангами ее факторов. Из равенства cd(G) = 1 следует, что G - свободная группа (теорема Столлингса). Исследуются связи между Г. р. и другими размерностями модулей и колец. Напр., размерность по Круллю коммутативного кольца R совпадает с gl.d. (R) тогда и только тогда, когда все локализации кольца R по простым идеалам имеют конечную размерность Крулля. Всякое коммутативное нётерово кольцо R, для которого gl. d. (R) < ∞, раскладывается в конечную прямую сумму областей целостности. Локальное кольцо регулярной точки наз. в алгебраич. геометрии локальным регулярным кольцом. Глобальная размерность такого кольца совпадает с его размерностью Крулля, а также с минимальным числом образующих его максимального идеала (регулярные локальные кольца являются областями целостности с однозначным разложением на простые множители, они остаются регулярными при локализациях по простым идеалам).

Лит.: [1] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Osofsky В. L., Homological dimensions of modules, Providence, 1973.

В. E. Говоров, А. В. Михалев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.