НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ГОМОЛОГИИ ТЕОРИЯ

ГОМОЛОГИИ ТЕОРИЯ топологических пространств - часть алгебраич. топологии, осуществляющая связь между топологич. и алгебраич. понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств - гомоморфизмы соответствующих групп, Г. т. по свойствам групп и их гомоморфизмов позволяет судить о свойствах пространств и отображений. К таким свойствам относятся, напр., связности разлинных размерностей, для исследования к-рых Г. т. опирается на понятие ограничивания, в отличие от другой части алгебраич. топологии - теории гомотопии, к-рая для той же цели применяет деформации. Г. т. зародилась в конце 19 в. в трудах А. Пуанкаре (Н. Poincaré) (см. Гомологии полиэдра), но аксиоматич. построение (а вместе с ним и точные границы этого долгое время расплывчатого понятия) Г. т. полупила лишь в работах Н. Стинрода и С. Эйленберга (см. [3], а также Алгебраическая топология, Гомологии группа, Стинрода-Эйленберга аксиомы).

По этому построению теория гомологии {Н, ∂} есть совокупность трех функций: 1) относительной r-мерной группы гомологии Нr(Х, А) пары топологич. пространств (X, A), A ⊂ X, к-рая каждой паре (X, А) и каждому целому числу r ставит в соответствие абелеву группу Нr(Х, А); 2) гомоморфизма

Hr(f) = f*: Hr(X, А) → Нr(Y, В),

к-рый ставится в соответствие непрерывному отображению f: (X, A) → (Y, В) и числу r и наз. гомоморфизмом, индуцированным отображением f; 3) граничного оператора ∂, к-рый каждой паре (X, А) и каждому r ставит в соответствие гомоморфизм ∂ группы Нr(Х, А) в группу Hr-1(A) (так наз. абсолютную группу пространства А, являющуюся группой пары (А, ∅)). При этом указанные функции должны удовлетворять следующим аксиомам.

1. Если f - тождественное отображение, то таковым является и f*.

2. (gf)* = g*f*.

3. ∂f* = (f|A)*∂.

4. Аксиома точности. Если

i : A → Х и j : Х → (Х, А)

- отображения вложения, то последовательность

наз. гомологической последовательностью, пары (X, А), является точной последовательностью, т. е. везде образ входящего гомоморфизма совпадает с ядром исходящего.

5. Аксиома гомотопии. Если отображения

f, g : (X, A) → (Y, В)

гомотопны, то f* = g*.

6. Аксиома вырезания. Если U - открытое подмножество пространства X и его замыкание содержится во внутренности подпространства А, то отображение вложения

e : (X\U, A\U) → (X, А)

индуцирует изоморфизм е*.

7. Аксиома размерности. Если X - одноточечное пространство, то Еr(Х) = 0 для всех r ≠ 0.

Вместо категории всех пар пространств за область определения функции Нr можно взять произвольную категорию пар пространств, напр. категорию пар компактных пространств или категорию пар, состоящих из полиэдров и их подполиэдров. Однако требуется, чтобы такая категория вместе с (X, А) содержала пары (∅, ∅), (X, ∅) = Х, (А, ∅) = А, (А, А), (X, X), цилиндр (X, А) × I, I = [0, 1], и какое-либо одноточечное пространство Р0, со всеми их отображениями вложения. Кроме того, требуется, чтобы категория содержала все пары и отображения, к-рые встречаются в аксиомах или теоремах. С другой стороны, за область значений функции Нr вместо категории всех абелевых групп можно принимать и другие категории, напр. категорию топологических, в частности, компактных групп с непрерывными гомоморфизмами или категорию модулей над нек-рым кольцом с линейными гомоморфизмами.

Аксиомы 1 и 2 означают, что Нr есть ковариантный функтор из нек-рой категории пар пространств в категорию групп. Аксиома 3 означает, что граничный оператор д согласован с функтором Нr. Аксиома 4, связывающая функторы всех размерностей r, иногда заменяется более слабым требованием: чтобы последовательность была лишь полуточной, т. е. образ входил в ядро (см. Точная последовательность); важным примером частично полуточной теории гомологии является теория гомологии Александрова-Чеха. Аксиома 5 имеет эквивалентную форму: если

f0f1 : (X, А) → (Х, А) × I

- отображения, определяемые формулами f0(x) = (x, 0), f1(x) = (x, 1), то f0* = f1*. Аксиома 6, требующая инвариантность при вырезании и имеющая несколько разновидностей, указывает то свойство Г. т., к-рое отличает ее от теории гомотопий. Аксиома 7, обеспечивающая геометрич. значимость размерностного индекса r, в современных исследованиях часто пренебрегается, что порождает так наз. обобщенные теории гомологии, важным примером к-рых служит теория бордизмов.

Для Г. т. существует двойственная ей теория когомологий (см. Двойственность в топологии). Она задается: относительной r-мерной группой когомологий Нr(Х, А), являющейся контравариантным функтором из категории пар топологич. пространств в категорию абелевых групп с индуцированным гомоморфизмом

Нr(f) = f*: Hr(Y, В) → Нr(Х, А)

и кограничным оператором

δ: Нr(А) → Нr+1(Х, А).

Аксиомы формулируются так же, как и в случае гомологии, с очевидным изменением в направлении гомоморфизмов, происходящим от контравариантности; напр., аксиома точности требует, чтобы была точной когомологическая последовательность

Здесь возникают также обобщенные когомологич. теории, важными примерами к-рых служат К-теории и кобордизмы. Приводимые ниже факты Г. т. имеют когомологич. параллели.

Группой коэффициентов Г. т. или теории когомологий наз. группа H00) или соответственно Н00). Группы Н̃r(Х, А) иногда удобно заменять так наз. приведенными группами Н̃r(X, А): приведенная нульмерная группа гомологии Н0(Х) есть ядро гомоморфизма

l* : Н0(X) → Н00),

индуцированного отображением l : Х → Р0, а приведенная нульмерная группа когомологий H̃0(Х) есть факторгруппа группы Н0(Х) по образу f*(H0(P0)); приведенные группы других размерностей совпадают с исходными: Н̃r(Х) = Нr(Х), r ≠ 0. Так, H0(Х) ~ H̃0(X) ⊕ G. Если А ≠ ∅, то H̃r(X, A) = Hr(X, А) при всех r. Замена обычных групп приведенными позволяет получить из гомологич. последовательности приведенную гомологическую последовательность.

Аксиомы Г. т. не являются независимыми. Так, аксиома 1 есть следствие аксиом 2, 3, 4. Система аксиом совместна, как показывает пример тривиальной теории Нr(Х, А) = 0; нетривиальными примерами являются когомологич. теория Александрова-Чеха, сингулярные гомологии и др. В вопросе полноты имеет место следующее: гомоморфизмом Г. т. {H, ∂} в Г. т. {H', ∂'} наз. такая система гомоморфизмов

h(X, А; r) : Нr(Х, А) → Н'r(Х, А),

что

H'(f) ⋅ h(X, A; r) = h(Y, В; r) ⋅ H(f)

и

∂' ⋅ h(X, A; r) = h(A; r-1) ⋅ ∂;

если все h(X, А; r) - изоморфизмы, то Г. т. {H, ∂} и {H', ∂'} наз. изоморфными Г. т. На конечных полиэдрах Г. т. является единственной. Точнее, если h0 : G → G' - произвольный гомоморфизм группы коэффициентов G теории {H, ∂} в группу коэффициентов G' теории {H', ∂'}, то для каждой полиэдральной пары (X, А) существует единственный гомоморфизм

h(X, А; r) : Нr(Х, А) → Нr(Х, А),

обладающий тем свойством, что h(P0; 0) = h0, причем, если h0 - изоморфизм, то изоморфизмами являются и все h(X, А; r). Так как группы гомологии отрицательной размерности триангулируемой пары тривиальны, то для таких пар равенство Hr(Х, A) = 0̇, r < 0, имеет место и при любой Г. т. {H, ∂}. Теорема единственности справедлива и для более широких категорий пространств в случае, когда Г. т. удовлетворяет соответствующим дополнительным аксиомам.

Группы гомологии являются топологическими, а также гомотопич. инвариантами: если f есть гомотопич. эквивалентность, то есть изоморфизм. Если X -стягиваемое пространство, в частности, клетка, то Hr(Х) = 0, r ≠ 0, и H0(X) ~ G. Если i : A ⊂ X есть гомотопич. эквивалентность, то Hr(Х, А) = 0, и, при любом X, Нr(Х, Х) = 0. Если А - ретракт пространства X, то i* есть мономорфизм, j* - эпиморфизм, оператор ∂ тривиален и

Hr(Х) ~ Hr(A) ⊕ Hr(X, А).

Если X деформируемо в А, то i* есть эпиморфизм, j* тривиален, ∂ есть мономорфизм и

Hr(A) ~ Hr(X) ⊕ Hr+1(X, А).

Пусть через S(X) обозначена надстройка над X; имеет место изоморфизм

r(X) ~ Hr+1(S(X)).

Это дает возможность вычислить группы гомологии сфер Sn; именно: H̃r(Sn) = 0 при r ≠ n и H̃n(Sn) ~ G; следовательно, Hr(Sn) = 0 при n ≠ r ≠ 0, Hr(Sn) ~ G при n ≠ r = 0 или n = r ≠ 0 и H0(S0) ~ G ⊕ G.

Важную роль в Г. т. играют гомологические последовательности троек и триад. Для тройки (X, А, В), X ⊃ A ⊃ B, пространств граничный оператор ∂' = k*∂ определяется как композиция k'* ⋅ ∂, где k': А → (A, В) есть вложение. Тогда возникает так наз. гомологическая последовательность тройки (X, А, В) (сводящаяся при B = ∅ к гомологич. последовательности пары (X, А))

где i' : (А, В) → (Х, В) и j' : (X, B) → (Х, А) - вложения. Эта последовательность точна. Если группы Нr(Х, А), Нr(Х, В), Нr(А, В) тривиальны для всех r, то i'*, ∂', j'*, являются соответственно изоморфизмами, и наоборот. Если X есть объединение непересекающихся замкнутых множеств Xi, i = 1, ..., n, и А = A1 ∪ ... ∪ An, где Ai ⊂ Xi, то Нr(Х, А) изоморфна прямой сумме групп Hri, Ai), i = 1, ..., n. Триада (X; A, В) есть пространство X с упорядоченной парой А, В подпространств. Она является собственной триадой, если вложения

k: (А, А ∩ В) → (А ∪ В, В), l: (В, А ∩ В) → (А ∪ В, А)

индуцируют изоморфизмы или имеется разложение

Hr(A ∪ B, A ∩ B) ~ Hr(A, A ∩ B) ⊕ Hr(B, А ∩ В).

Далее, для них определяется граничный оператор

∂̅ : Нr(Х, A ∪ B) → Hr-1(A, A ∩ B)

как k-1* ⋅ m* ⋅ ∂, где m : A ∪ B ⊂ (A ∪ B, В). Это порождает точную гомологическую последовательность триады

где р : (А, А ∩ B) → (Х, В), q : (X, B) → (Х, A ∪ B) -вложения [при В ⊂ А эта последовательность сводится к гомологич. последовательности тройки (X, А, В)).

Пусть Х = A ∪ B, A ∩ B = C и пусть для отображений h, h1, h2 : (X, С) → (Y, D) имеют место соотношения h1|A = h|A, h2|B = h|B, h1(B) ⊂ D, h2(A) ⊂ D. Тогда справедливы следующие аддиционные теоремы.

1. h* = h1* + h2*.

2. Если D стягиваемо и f, f1, f2 : X → Y определены соответственно посредством h, h1, h2, то для индуцированных гомоморфизмов приведенных групп f*, f1*, f2* : H̃r(Х) → Hr(Y) имеет место равенство f* = f1* + f2*.

Пусть определен гомоморфизм

s : Hr(C) → Hr(A) ⊕ Hr(В),

где s(c) = (s1*(c), - s2*(c)), с ∈ Нr(С) и где s1 : C → A, s2 : С → В - вложения, и гомоморфизм

t : Hr(A) #&8853; Hr(B) → Hr(X),

где t(a, b) = t1*(a) + t2*(b), (а, b) ∈ Нr(A) ⊕ Hr(В), и t1 : А → Х, t2 : B → Х - вложения. Пусть, наконец, определен гомоморфизм

Δ : Hr(Х) → Нr(С),

где Δ = du-1*1v* и

v : X → (X, В), u : (А, С) → (X, В)

- вложения. Тогда получается так наз. последовательность Мейера-Вьеториса собственной триады:

к-рая является точной и к-рая связывает гомологии пространств с гомологиями их объединения и пересечения. Отсюда, в случае С ≠ ∅, можно перейти к аналогичной последовательности для приведенных групп. Из нее следует:

1. Если A ∩ B стягиваемо, то

Н̃r(А ∪ В) ~ Н̃r(А) ⊕ H̃r(В).

2. Если A ∪ В стягиваемо, то

r(A ∪ B) ~ H̃r(A) ⊕ H̃r(B).

3. Если А и В стягиваемы, то Δ устанавливает изоморфизм

Н̃r(А ∪В) ~ Н̃r-1(А ∩ В).

Использование предыдущих результатов позволяет вычислить группы гомологии различных пространств. Напр., если X - замкнутая ориентируемая поверхность рода n, то Hr(Х) изоморфна группе коэффициентов G при r = 0, 2, прямой сумме G2n 2n экземпляров группы G при r = 1 и 0 - в остальных случаях. Если X - замкнутая неориентируемая поверхность рода n, то Hr(Х) изоморфна G при r = 0, группе Gn-1 ⊕ G2, где G2 есть факторгруппа G/2G, 2G = {2g| g ∈ G}, при r = 1, подгруппе T2(G) группы G, состоящей из всех элементов g ∈ G с 2g = 0 при r = 2 и 0 - в остальных случаях. Таким образом, Г. т. дает топологич. классификацию замкнутых поверхностей. Для n-мерного действительного проективного пространства Рn группа Hrn) изоморфна группе G при r = 0 или r = n и нечетном, группе G2 при r нечетном и 0 < r < n, группе T2(G) при r четном и 0< r ≤ n и 0 - в остальных случаях. Группа гомологии Hr(СРn) комплексного проективного пространства СРn размерности 2n изоморфна группе G при r четном и 0 ≤ r ≤ 2n и 0 - в остальных случаях. Гомологич. группа Hr(Lp,q) линзового пространства Lp,q изоморфна группе G при r = 0,3, группе Gp =G/pG, гд'е pG = {pg| g ∈ G} при r = 1, группе Tp(G), где Tp(G) = {g ∈ G| pg=0} при r = 2 и 0 - в остальных случаях.

Из разнообразных приложений предыдущих результатов следует выделить нек-рые фундаментальные предложения. Прежде всего - инвариантность размерности: сферы, а также евклидовы пространства различных размерностей не гомеоморфны; более того, если два полиэдра гомеоморфны, то они имеют одинаковую размерность. Далее, из равенства f*i* = g*, где f : X → Y есть распространение данного отображения g : A → Y, A ⊂ Х, получаются различные признаки распространяемости и ретрагируемости отображений; напр., отображение ненулевой степени сферы Sn-1, n > 1, в себя не распространимо на n-мерный шар Еn, границей к-рого является Sn-1, а сфера Sn-1 не является ретрактом шара Еn ни для какого натурального n. Из этого, в свою очередь, следует теорема Брауэра о неподвижной точке: любое отображение Еn → Еn имеет неподвижную точку. Наконец, доказывается, что на Sn существует единичное касательное векторное поле тогда и только тогда, когда n нечетно, а из теории триад получается ряд теорем о степенях отображений, что, в частности, позволяет по-новому доказать основную теорему алгебры.

Лит.: [1] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; [2] Лефшец С., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1949; [3] Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [4] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [5] Нu Sze-Tsen, Homology Theory; 3 ed., N.-L., 1965; [6] Ни Sz.-Tz., Cohomology Theory, L., 1970; [7] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976.

Г. С. Чогошвили.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru