ГОМОЛОГИИ С КОМПАКТНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ

ГОМОЛОГИИ С КОМПАКТНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ - теория частично точных гомологии (см. Гомологии теория), удовлетворяющая следующей аксиоме о компактных носителях: для каждого элемента h из r-мерной группы Н_r(Х, А) произвольной пары пространств (X, А) в теории Н существует такая компактная пара (X', А') ⊂ (Х, А), что h содержится в образе индуцированного вложением гомоморфизма

μ : Н_r(Х', А') → Н_r(Х, А).

Если теория Н точна и имеет компактные носители, то справедлива следующая теорема: для любого элемента h ∈ H_r(X', А'), принадлежащего ядру гомоморфизма μ, существует такая компактная пара (X'', А''), что

(X', А') ⊂ (Х'', A'') ⊂ (Х, А)

и h принадлежит ядру гомоморфизма

H_r(Х', А') → H_r(X'', А'').

Точная теория обладает компактными носителями тогда и только тогда, когда для любой пары (X, А) группа Н_r(Х, А) есть прямой предел lim_→{Н_r(Х', А')},

где (X', А') пробегает компактные пары, содержащиеся в (X, А). Точная теория гомологии с компактными носителями единственна на категории произвольных (некомпактных) полиэдральных пар при данной группе коэффициентов и она эквивалентна сингулярной теории. Наряду с группой Н_r(Х, А) имеется группа

H^c_r(X, А) = lim_→{H_r(X', А')},

где (X', А') - компактные подпары из (X, А). Сингулярная группа гомологии обладает компактными носителями и изоморфна группе Н^c_r(Х, А). В спектральной теории, кроме групп Н_r(Х, А) гомологии Александрова - Чеха и групп Н^c_r(Х, А) рассматривается также группа, являющаяся образом при естественном гомоморфизме

Н^c_r(Х, А) → H_r(X, А);

эта группа, как и группа Н^c_r(Х, А), удовлетворяет аксиоме о компактных носителях, но в спектральной теории группой Г. с к. п. обычно называют именно группу Н^c_r(X, А). Указанные три группы спектральной теории отличны друг от друга и каждая из них является объектом теоремы двойственности как при дискретной, так и при компактной группе коэффициентов (см. Двойственность в топологии).

Лит.: [1] Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [2] Александров П. С., «Матем. сб.», 1947, т. 21, вып. 2, с. 161-232; [3] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.

Г. С. Чогошвили.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.