ГОМОЛОГИИ ПОЛИЭДРА

ГОМОЛОГИИ ПОЛИЭДРА - гомологии теория топологич. пространства, являющегося полиэдром. Г. п. возникли в трудах А. Пуанкаре (Н. Poincaré, 1895) при изучении многообразий в евклидовых пространствах. Он рассматривал r-мерные замкнутые подмногообразия данного многообразия, наз. r-мерными циклами. Если в многообразии существует ограниченное (r + 1)-мерное подмногообразие, границей к-рого является данный r-мерный цикл, то этот цикл наз. гомологичным нулю в данном многообразии. Напр., окружность, концентрическая с ограничивающими кольцо окружностями, не гомологична нулю, в то время как окружность, являющаяся границей круга, содержащегося в кольце, гомологична нулю в этом кольце. Аналитическое вначале задание многообразия было заменено А. Пуанкаре представлением его, разложенным на симплексы, приложенные друг к другу по граням так, чтобы они образовывали комплекс. Такой метод исследования гомологии приложим к любым пространствам, триангулируемым в виде симплициального комплекса, то есть к прямолинейным полиэдрам и их гомеоморфным образам - криволинейным полиэдрам. Геометрич. смысл циклов и их гомологии при этом сохраняются. Так, 1-мерным циклом будет замкнутая ломаная, звеньями к-рой являются 1-мерные симплексы. Он гомологичен нулю, если служит границей 2-мерного подкомплекса данного комплекса. Два цикла одной и той же размерности гомологичны один другому, если вместе они ограничивают подкомплекс данного комплекса. Это есть отношение эквивалентности, что вызывает разбиение множества циклов одной и той же размерности данного комплекса на классы. Во множестве классов вводится алгебраическая структура, если за сумму двух классов принять класс, содержащий сумму циклов, произвольно выбранных из складываемых классов. Введение направления обхода, т. е. рассмотрение ориентированных симплексов приводит к понятию обратного класса. Строгое изложение этих наглядных представлений позволяет определить понятие группы Г. п.

Пусть имеется триангуляция К полиэдра Р и абелева группа G. r-мерной цепью комплекса K над группой G коэффициентов наз. произвольная функция с_r, ставящая в соответствие каждому ориентированному r-мерному симплексу t^r из К определенный элемент из G, и отличная от нуля лишь для конечного числа симплексов, причем c_r(-t^r)= -c_r(t^r). Складывая r-мерные цепи как линейные формы, получаем абелеву группу C_r(K, G) - группу всех r-мерных цепей комплекса К над группой G коэффициентов. Исходя из понятия границы симплекса и определяя по аддитивности границу цепи, приходим к гомоморфизму

∂_r : C_r(K, G) → C_r-1(K, G)

со свойством ∂_r-1∂_r = 0 и цепному комплексу

{C_r(K, G), ∂_r}.

Цепь с_r наз. циклом, если ее граница есть нулевая цепь: ∂_rc_r = 0. Цикл z_r наз. ограничивающим, если в K существует такая (r+1)-мерная цепь с_r+1, что z_r = ∂_r+1c_r+1. Ядро гомоморфизма ∂_r, т. е. группа Z_r(K, G) всех r-мерных циклов, содержит образ при гомоморфизме ∂_r+1, т. е. подгруппу B_r(K, G) всех ограничивающих r-мерных циклов. Факторгруппа H_r(K, G) группы Z_r(K, G) по B_r(K, G) есть r-мерная группа гомологии комплекса K над группой G коэффициентов. Она принимается за r-мерную группу гомологии H_r(P, G) полиэдра Р над G, так как доказывается, что все триангуляции полиэдра Р имеют изоморфные r-мерные группы гомологии над G. Группа H_r(P, G) при произвольном G, в силу теоремы об универсальных коэффициентах, определяется целочисленными группами H_s(P, ℤ), где ℤ - группа целых чисел. В свою очередь если полиэдр конечный, целочисленная группа, к-рая является абелевой группой с конечным числом образующих, имеет полную систему числовых инвариантов - число Бетти и коэффициенты кручения, т. е. ранг и коэффициенты кручения группы H_r(Р, ℤ).

Лит.: [1] Александров П. С., Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; [2] Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, 2 изд., М., 1976; [3] 3ейферт Г., Трельфалль В., Топология, пер. с нем., М.-Л., 1938; [4] Хилтон П.-Дж., Уайли С., Теория гомологии. Введение в алгебраическую топологию, пер. с англ., М., 1966.

Г. С. Чогошвили.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.