ГОМОЛОГИИ КОМПЛЕКСА

ГОМОЛОГИИ КОМПЛЕКСА - исходное понятие для различных гомологич. конструкций. Пусть А -абелева категория и K. = (K_n, d_n) - цепной комплекс в категории A, т. е. семейство объектов (K_n)_n∈Z категории А и таких морфизмов d_n : К_n → K_n-1 что d_n-1 ○ d_n = 0 для всех n ∈ Z. Факторобъекты Ker d_n/Im d_n+1 наз. n-ми гомологиям и комплекса K. и обозначаются Н_n(К.). Семейство (H_n(K.))_n∈Z обозначается также через Н.(K.). Понятие Г. к. является основой для ряда важных конструкций в гомологич. алгебре, коммутативной алгебре, алгебраич. геометрии, топологии. Так, в топологии каждое топологич. пространство X определяет цепной комплекс в категории (Аb) абелевых групп: (С_n(Х), ∂_n). Здесь С_n(Х) - группа n-мерных сингулярных цепей пространства X, а ∂_n - граничный гомоморфизм, n-е гомологии этого комплекса наз. n-ми группами сингулярных гомологии пространства X и обозначаются Н_n(Х). Двойственным образом определяется понятие когомологий коцепного комплекса.

Лит.: [1] Маклейн С., Гомология, пер. с англ., М., 1966.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.