ГОМОЛОГИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

ГОМОЛОГИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, когомологии динамической системы, - один из инвариантов в эргодической теории, построение к-рого напоминает построение когомологий группы (см. [1]). В простейшем случае одномерных (ко)гомологий H¹(T, X) каскада, получающегося итерированием автоморфизма Т пространства с мерой X, определение эквивалентно следующему. Пусть Z(X) - группа по сложению всех измеримых функций на X (соответственно группа по умножению измеримых функций f, для к-рых |f(x)| = 1 почти всюду). Аддитивной (соответственно мультипликативной) (ко) границей функции f наз. функция g(x) = f(Tx) -- f(x) (соответственно g(x) = f(Tx)/f(x)). Обозначая совокупность всех (ко)границ через В(Т, X), можно определить аддитивную (соответственно мультипликативную) группу (ко)гомологий H¹(T, X) как факторгруппу Z(Х)/В(Т, X). Вместо всех измеримых функций могут рассматриваться и более узкие классы функций. Г. д. с. являются инвариантами траекторного изоморфизма (подробности для Н¹ см. в [2]).

Пока (к 1977) Г. д. с. не вычислены ни в одном нетривиальном примере. Использование «гомологических» понятий в эргодич. теории определяется тем, что в различных конкретных случаях бывает важно знать (и иногда действительно удается выяснить), является ли та или иная определенная функция кограницей.

Лит.: [1] Кириллов А. А., «Успехи матем. наук», 1967, т. 22, №5, с. 67-80; [2] Степин А. М., «Функциональн. анализ и его приложения», 1971, т. 5, № 2, с. 91-2.

Д. В. Аносов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.