ГОМОКЛИНИЧЕСКАЯ ТОЧКА

ГОМОКЛИНИЧЕСКАЯ ТОЧКА - такая точка (р = р*, q = q*), принадлежащая области определения функции Гамильтона H = H(р, q) гамильтоновой системы

ṗ = -∂H/∂q, q̇ = ∂H/∂p, p = (p₁, p₂), q = (q₁, q₂) (*)

что решение системы (*), проходящее через эту точку, при t → ±∞ асимптотически приближается к нек-рому периодич. решению Т₁. При этом само решение, проходящее через Г. т., наз. гомоклиническим.

Пусть S₊ - поверхность, образованная решениями системы (*), к-рые при t → ∞ асимптотически приближаются к периодич. решению T₁, а S_- - поверхность, образованная решениями системы (*), к-рые асимптотически приближаются к этому же периодич. решению при t → -∞. Тогда множество S₀ = S₊ ∩ S_- состоит из гомоклинич. решений. Если хотя бы вдоль одного гомоклинич. решения поверхности S₊ и S_- пересекаются (или имеют касание нечетного порядка), то множество S₀ содержит бесконечно много различных решений. Случай, когда множество S₀ состоит из счетного числа решений, является грубым, т. е. сохраняется при малом изменении функции Н. Случай, когда S₀ содержит несчетное число различных решений, является негрубым, или вырожденным. При этом предполагается, что само периодич. решение Т₁ и поверхности S₊, S_- сохраняются при малом изменении функции Н. Это будет иметь место, напр., если периодич. решение T₁ принадлежит к гиперболич. типу (см. Гиперболическая точка).

Нахождение гомоклинич. решений системы (*) с произвольной функцией Гамильтона Н представляет собой трудную задачу. Однако в случае, когда переменные (р, q) можно выбрать так, что справедливо равенство

H = H₀(р) + εH₁(р, q),

где ε - малый параметр, а функция Н₁ является 2π-периодической по переменным q, гомоклинич. решения системы (*) могут быть найдены в виде сходящихся рядов (см. [3] при ст. Гетероклиническая точка). Доказательства существования гомоклинич. решений у системы (*) получены при менее огранительных предположениях о функции Гамильтона системы (*).

Данное выше определение Г. т. почти дословно переносится на случай гамильтоновой системы с числом степеней свободы n > 2, если периодич. решение Т₁ заменить k-мерным инвариантным тором T_k, 0 < k < n. Известно, что (n - 1)-мерные инвариантные торы обладают гомоклинич. решениями, если эти торы принадлежат к гиперболич. типу.

Окрестность гомоклинич. решения имеет сложное строение. Так, напр., в случае системы (*) доказано, что в окрестности гомоклинич. решения существует счетное число периодич. решений со сколь угодно большими периодами. При этом любые два из них можно соединить гетероклинич. решением. Гомоклинич. решения играют важную роль в общей теории гладких динамич. систем.

Лит.: [1] Пуанкаре А., Новые методы небесной механики, Избр. тр., т. 1, 2, М., 1971; [2] Тakеns F., «Inventions math.», 1972, v. 18, p. 267-92; [3] Мельников В. К., «Докл. АН СССР», 1973, т. 211, № 5, с. 1053-56; [4] Нитецки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975.

См. также лит. при ст. Гетероклиническая точка.

В. К. Мельников.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.