ГОЛОНОМИИ ГРУППА

ГОЛОНОМИИ ГРУППА - одна из характеристик связности в расслоенном пространстве. Г. г. определяется для главного расслоенного многообразия Р со структурной группой Ли G и базой В (обладающей счетным базисом), в к-ром задана инфинитезимальная связность Г. Одновременно она определяется для любого присоединенного к Р расслоенного многообразия Е, слоями к-рого являются экземпляры нек-рого пространства F представления группы Ли G.

Связность Г в Р (соответственно в Е) определяет для любой кусочно гладкой кривой L базы В изоморфное отображение ГL друг на друга слоев, соответствующих началу и концу кривой L. Каждой кусочно гладкой замкнутой кривой L базы В, начинающейся и оканчивающейся в точке х ∈ В, соответствует автоморфизм слоя G_x (соответственно F_x) над точкой х. Множество этих автоморфизмов образует группу Ли Ф_x, которая наз. группой голономии связности Г в точке х.

Если база (линейно) связна, то Ф_x и Ф_x', изоморфны между собой для любых х и х' в В. Поэтому можно говорить о группе голономии Ф линейно связного многообразия Р (или Е) со связностью Г.

Г. г. Ф_x является подгруппой структурной группы G. В случае линейной связности в Р эту подгруппу можно определить непосредственно. Пусть задана точка р ∈ Р в слое G_x над точкой х. Совокупность элементов g ∈ G таких, что точки р и pg^-1 соединимы горизонтальными кривыми в Р, образует подгруппу Ф_p, группы G, изоморфную Ф_x.

Ограниченной (суженной) Г. г. Ф⁰_x наз. подгруппа Г. г. Ф_x, порожденная замкнутыми кривыми, гомотопными нулю. Она совпадает с линейно связной компонентой единичного элемента Г. г. Ф_x, при этом Ф/Ф⁰ не более чем счетно.

Роль Г. г. в дифференциальной геометрии расслоенных пространств выясняют следующие теоремы о линейных связностях в Р.

Теорема о приведении связности. Пусть Р(В, G) - главное расслоенное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности; Ф - Г. г. заданной в Р связности Г. Тогда структурная группа G приводима к своей подгруппе Ф, а связность Г приводима к связности в приведенном расслоении Р'(В, Ф), Г. г. к-рого совпадает с Ф.

Теорема о голономии. Алгебра голономии (алгебра ограниченной Г. г.) является подалгеброй алгебры G, порожденной всеми векторами Ω_y(Y, Y'), где Ω_y - форма кривизны в точке у, у пробегает множество, каждая точка к-рого может быть соединена с исходной точкой y₀ горизонтальным путем, Y и Y' -произвольные горизонтальные векторы.

Лит.: [1] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [3] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970.

Г. Ф. Лаптев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.