НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ГОЛОМОРФНОСТИ ОБЛАСТЬ

ГОЛОМОРФНОСТИ ОБЛАСТЬ - область D комплексного пространства ℂn, для к-рой существует функция f(z), голоморфная в D и не продолжаемая голоморфно в большую область; при этом D наз. естественной областью определения функции f(z). Напр., естественной областью определения функции

служит единичный круг, к-рый поэтому является Г. о. в ℂ1. В ℂ1 всякая область есть Г. о. Напротив, в ℂ1, n ≥ 2, не всякая область есть Г. о. Так, никакая область вида D\K, где К - компакт, содержащийся в D, не будет Г. о.

Область D ⊂ ℂn наз. голоморфно выпуклой, если для каждого множества A ⋐ D существует такое содержащее А множество FA ⋐ D, что для любой точки z0 ∈ D\FA существует функция f(z), голоморфная в D и такая, что

supz∈A |f(z)| < |f(z0)|.

Для того чтобы область D была Г. о., необходимо и достаточно, чтобы она была голоморфно выпуклой (теорема Картана-Туллена). Для того чтобы область D была Г. о., необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки z0 ∈ ∂D существовал барьер-функция fz0(z), голоморфная в D и не продолжимая голоморфно в точку z0. Напр., если D - произвольная область в ℂn, то функция (z - z0)-1 есть барьер в любой точке z0 ∈ ∂D, так что D есть Г. о.; если D - выпуклая область в ℂn и

- опорная плоскость в точке z0 ∈ ∂D, то функция (a, z - z0)-1 есть барьер в z0, и поэтому всякая выпуклая область в ℂn есть Г. о.

Пересечение Г. о. есть Г. о.; всякое биголоморфное отображение переводит Г. о. в Г. о.; сумма возрастающей последовательности Г. о. есть Г. о. (теорема Венке-Штейна).

Область D ⊂ ℂn наз. псевдовыпуклой, если функция - ln ΔD(z) есть плюрисубгармоническая функция в D, где ΔD(z) есть расстояние от точки z ∈ D до ∂D. Для того чтобы область была Г. о., необходимо и достаточно, чтобы она была псевдовыпуклой (теорема Ока). Достаточность условия в теореме Ока составляет содержание проблемы Леви, поставленной Э. Леви (Е. Levi, в 1911). Для n = 2 она была решена К. Ока (К. Ока, 1942); для n ≥ 2 эта проблема решена независимо К. Ока, Ф. Норгэ, Г. Бремерманом (F. Norguet, Н. Bremermann, 1953-1954).

Г. о. с достаточно гладкой границей допускают локальное описание. Область D ⊂ ℂn наз. псевдовыпуклой в точке z0 ∈ ∂D, если существует такая окрестность V точки z0 и такая определенная в V действительная функция φ(z) класса ℂ2, что: a) D ∩ V = [z : φ(z) < 0, z ∈ V] и б) на плоскости

форма Гессе

Если в условии б) имеет место строгое неравенство для всех рассматриваемых векторов а ≠ 0, то область D наз. строго псевдовыпуклой в точке z0. Область D наз. (строго) псевдовыпуклой в смысле Леви, если она (строго) псевдовыпукла в каждой точке z0 ∈ ∂D.

Если область строго псевдовыпукла в смысле Леви, то она псевдовыпукла (теорема Леви).

Г. о. функции f(z), заданной в первоначальной окрестности V, может быть построена при помощи разложений в ряды Тейлора с использованием принципа голоморфного продолжения; при этом может оказаться, что в построенной области голоморфно продолженная функция f(z) неоднозначна. Чтобы сделать функцию однозначной, необходимо расширить понятие области. Это достигается путем введения римановых областей (наложения областей, неоднолистных областей) над ℂn (римановы области над ℂ1 наз. римановыми поверхностями). Понятие Г. о. распространяется и на римановы области и даже на объекты более общей структуры - комплексные многообразия и комплексные пространства. Обобщение понятия Г. о. приводит к Штейна пространствам.

Лит.: [1] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [3] Xёрмандер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1968.

В. С. Владимиров.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru