ГОЛОМОРФНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

ГОЛОМОРФНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ - отображение f : D → D' области D ⊂ ℂⁿ в область D' ⊂ ℂ^m, при к-ром

z = (z₁, ..., z_n) →-(f₁(z), ..., f_m(z)).

где все координатные функции f₁, ..., f_m голоморфны в D. При m = 1 Г. о. совпадает с голоморфной функцией (см. Аналитическая функция).

Г. о. f наз. невырожденным в точке z ∈ D, если ранг якобиевой матрицы ||∂f/∂z|| в точке z максимален (=min (n, m)). Г. о. наз. невырожденным в области D, если оно невырождено во всех точках z ∈ D. При m = n невырожденность f эквивалентна условию

det ||∂f/∂z|| ≠ 0.

При n = m = 1 невырожденное Г. о. есть конформное отображение. При n = m ≥ 2 невырожденное Г. о., вообще говоря, не сохраняет углов между направлениями. Если Г. о. f невырождено в точке а ∈ D и m = n, то f локально обратимо, т. е. существуют окрестности U, U', a ∈ U ⊂ D, f(a) ∈ U' ⊂ D' и Г. о. f^-1: U' → U такие, что f^-1 ⋅ f(z) = z для всех z ∈ U. Если Г. о. f взаимно однозначно отображает D на f(D) и m = n, то f невырождено в D; при m > n это неверно, напр. z → (z₂, z₃), D = ℂ, D' = ℂ². Если m ≤ n и f невырождено в D, то образ области D тоже является областью в ℂ^m; при m > 1 принцип сохранения области не выполняется для отображений, вырожденных в нек-рых точках, напр. (z₁, z₂) → (z₁, z₁z₂), D = D' = ℂ².

Если M и M' -комплексные многообразия, {(U_α, φ_α)} и {(U'_β, φ'_β)} - атласы их локальных систем координат (φ_α : U_α → D_α ⊂ ℂⁿ, φ'_β : U'_β → D'_β ⊂ ℂⁿ - гомеоморфизмы; см. Многообразие), то отображение f : M → М' наз. голоморфным, если φ'_β ⋅ f ⋅ φ^-1_α: D_α → D'_β. есть Г. о. для всех α и β. Аналогично определяются Г. о. комплексных пространств (см. Аналитическое отображение). См. также Биголоморфное отображение.

Лит.: [1] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969.

Е. Д. Соломенцев, Е. М. Чирка.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.