Новости    Библиотека    Энциклопедия    Биографии    Карта сайта    Ссылки    О проекте




ГОЛОМОРФНАЯ ФОРМА

ГОЛОМОРФНАЯ ФОРМА степени р на комплексном многообразии М - дифференциальная форма α типа (р, 0), удовлетворяющая условию d''α = 0, т. е. форма, к-рая в локальных координатах z1, ..., zn на М записывается в виде

α = ∑i1,...,ip ai1...ip dzi1 ∧ ... ∧ dzp,

где ai1...ip - голоморфные функции. Г. ф. степени р образуют векторное пространство Ωp(М) над полем ℂ; Ω0(M) - это пространство голоморфных функций на М.

На компактном кэлеровом многообразии М пространство Ωp(М) совпадает с пространством Нp,0(М) гармонических форм типа (р, 0), откуда следует, что 2 dimΩ1(М) есть первое число Бетти многообразия [1]. Г. ф. на римановой поверхности М наз. также дифференциалами первого рода; если поверхность М компактна, то dim Ω1(М) равна ее роду.

Пространства Ωp(M), р = 0, 1, ..., dim M, образуют локально тонный комплекс относительно оператора d, наз. голоморфным комплексом де Рама. Если М - многообразие Штейна (см. Штейна пространство), то когомологий этого комплекса, изоморфны комплексным когомологиям Нp(М, ℂ) и Нp(М, ℂ) = 0 при p > dimM [2].

Аналогично определяются Г. ф. со значениями в нек-ром векторном аналитическом расслоении Е над М (голоморфные 0-формы здесь - голоморфные сечения расслоения). Ростки Г. ф. степени р со значениями в Е образуют локально свободный аналитич. пучок ΩpE. Комплекс Дольбо форм типа (р, q), q = 0, 1, ..., dim M, со значениями в Е есть тонкая резольвента этого пучка, откуда

Hp,q(М, Е) ≅ Нq(М, ΩpE)

(теорема Дольбо-Серра [1], [4]).

Определение Г. ф. можно распространить также на комплексные аналитич. пространства. Достаточно сделать это для локальных моделей, т. е. в случае, когда пространство А является аналитич. подпространством в области G ⊂ ℂn. Пучок ростков голоморфных р-форм ΩpX на X определяется как

ΩpG/Kp|X,

где ΩpG - пучок ростков голоморфных р-форм в G, а Кp состоит из ростков форм вида

где I - пучок идеалов, задающий X. Определяется также голоморфный комплекс де Рама пространства X, к-рый, однако, не является локально тонным. Для того чтобы этот комплекс был локально точен в точке х ∈ Х, начиная с k-й степени, достаточно, чтобы X в окрестности точки х допускало голоморфное стягивание на локальное аналитич. множество Y ⊂ X, для к-рого emdimxY = k (см. [3]).

Лит.: [1] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [3] Reiffen H.-J., «Math. Z.», 1967, Bd 101, H. 4, S. 269-84; [4] Уэллс P., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М.. 1976.

А. Л. Онищик.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.




ИНТЕРЕСНО:

Зачем математики ищут простые числа с миллионами знаков?

Задача построения новых оснований математики - унивалентные основания

Многомерный математический мир… в вашей голове

В школах Великобритании введут китайские учебники математики

Найдено самое длинное простое число Мерсенна, состоящее из 22 миллионов цифр

Как математик помог биологам совершить важное открытие

Математические модели помогут хирургам

Почему в математике чаще преуспевают юноши

Физики-практики откровенно не любят математику

В индийской рукописи нашли первое в истории упоминание ноля

Вавилонская глиняная табличка оказалась древнейшей «тригонометрической таблицей» в мире

Ученые рассказали о важной роли игр с пальцами в обучении детей математике
Пользовательского поиска

© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2018
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'MathemLib.ru: Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru