ГЛОБАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО

ГЛОБАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО - риманово многообразие М, каждая точка р к-рого является изолированной неподвижной точкой нек-рой инволютивной изометрии S_p многообразия М, т. е. S²_p, есть тождественное преобразование. Пусть G - компонента единицы группы изометрии пространства М и К - стационарная подгруппа точки р. Тогда М является однородным пространством G/K, и отображение Ф : g → S_pgS_p есть инволютивный автоморфизм группы G, причем K содержится в замкнутой подгруппе G^Ф всех неподвижных точек автоморфизма Ф и содержит компоненту единицы группы G^Ф.

Пусть g - вещественная алгебра Ли, φ - ее инволютивный автоморфизм и k - подалгебра в g, состоящая из всех φ-неподвижных элементов. Рассмотрим связную подгруппу К присоединенной группы Int(g), соответствующую подалгебре k. Если группа K компактна, то k наз. компактно вложенной подалгеброй алгебры g, а пара (g, φ) наз. ортогональной симметрической алгеброй Ли. Пусть g = k + m - разложение на собственные подпространства автоморфизма φ, отвечающие собственным значениям 1 и -1. Пара (g, φ) наз.: а) алгеброй компактного типа, если g компактна и полупроста; б) алгеброй некомпактного типа, если g = k + m есть Картана разложение; в) алгеброй евклидова типа, если m - абелев идеал в g. Пусть (g, φ) - ортогональная симметрич. алгебра Ли и g = k + m - указанное разложение. Обозначим через g* подмножество k + im комплексной оболочки g^C алгебры g. Отображение

φ*: T + iХ → T - iX, T ∈ k, Х ∈ m,

есть инволютивный автоморфизм алгебры g* и (g*, φ*) есть ортогональная симметрия, алгебра Ли, к-рая наз. двойственной к алгебре (g, φ). Если (g, φ) - алгебра компактного типа, то (g*, φ*) - алгебра некомпактного типа, и наоборот.

Каждое Г. с. р. п. G/K порождает ортогональную симметрия, алгебру Ли (g, φ), где g - алгебра Ли группы G, а φ = (dФ)_у (е - единица группы). G/К наз. пространством компактного или некомпактного типа в соответствии с типом порождаемой им пары (g, φ). Каждое односвязное Г. с. р. п. М является прямым произведением: М = М₀ × М_- × М₊, где М₀ - евклидово пространство, М_- и М₊ - Г. с. р. п. компактного и некомпактного типа соответственно. Для всякого пространства некомпактного типа кривизна в любом двумерном направлении неположительна, а для пространств компактного типа такая кривизна всюду неотрицательна. Любое пространство некомпактного типа диффеоморфно евклидову пространству.

Пусть M = G/K - Г. с. р. п. компактного или некомпактного типа. Рангом l пространства М наз. максимальная размерность плоского вполне геодезич. подмногообразия в М. Пусть А и А' - два плоских вполне геодезич. подмногообразия пространства М размерности l, q ∈ A, q' ∈ A' и X - касательный вектор к М в точке q. Тогда: 1) существует такой элемент x ∈ G, что хА = А' и xq = q'; 2) существует такой элемент y ∈ G, что yq = q и dy(X) - касательный вектор к А в точке q.

Пусть (g, φ) - ортогональная симметрич. алгебра Ли, а k и m - собственные подпространства автоморфизма φ, отвечающие собственным значениям 1 и -1. Алгебра (g, φ) наз. неприводимой, если выполняются условия: 1) g полупроста и k не содержит ненулевых идеалов алгебры g; 2) алгебра ad_g(k) неприводимым образом действует на m. Г. с. р. п. G/К наз. неприводимым, если порождаемая им ортогональная симметрич. алгебра Ли(g, φ) неприводима. Две ортогональные симметрич. алгебры Ли (g, φ) и (g', φ') наз. изоморфными, если существует такой изоморфизм ψ алгебры g на g', что ψ ○ φ = φ' ○ ψ'. Классификация односвязных неприводимых Г. с. р. п. с точностью до изометрии эквивалентна классификации неприводимых ортогональных симметрич. алгебр Ли с точностью до изоморфизма.

Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры Ли компактного типа суть: I. (g, φ), где g - компактная простая алгебра Ли и φ - любой ее инволютивный автоморфизм; II. (g, φ), где компактная алгебра g является прямой суммой двух простых идеалов, к-рые переставляются при помощи автоморфизма φ.

Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры Ли некомпактного типа суть: III. (g, φ), где g - простая некомпактная алгебра Ли над ℝ, комплексная оболочка g^C к-рой является простой алгеброй Ли над ℂ, а φ - такой инволютивный автоморфизм алгебры g, что его неподвижные точки составляют максимальную компактно вложенную подалгебру; IV. (g, φ), где g -простая алгебра Ли над ℂ, рассматриваемая как вещественная алгебра Ли, а φ - сопряжение алгебры g по отношению к максимальной компактно вложенной подалгебре k, т. е. отображение X + iY #&8594; X - iY, X,Y ∈ k. Кроме того, если обозначить через (g*, φ*) алгебру, двойственную к (g, φ), то (g, φ) типа III и IV, если (g*, φ*) типа I и II соответственно, и наоборот.

С каждой неприводимой ортогональной симметрич. алгеброй некомпактного типа связано в точности одно Г. с. р. п., причем это пространство односвязно. Для компактных алгебр решение соответствующей задачи значительно сложнее. Достаточно рассмотреть типы I и II. Г. с. р. п., связанные с алгебрами типа II,- это в точности компактные связные простые группы Ли, снабженные римановой структурой, инвариантной относительно левых и правых сдвигов. Задача классификации Г. с. р. п., связанных с алгебрами типа I, с точностью до локальных изометрий равносильна задаче классификации инволютивных автоморфизмов простых компактных алгебр Ли. Глобальная классификация симметрических римановых пространств, связанных с данной ортогональной симметрич. алгеброй (g, φ) компактного типа, решается следующей теоремой.

Пусть (g, φ) - ортогональная симметрич. алгебра компактного типа, причем подалгебра к неподвижных точек автоморфизма φ не содержит идеалов алгебры g, отличных от {о}. Пусть G̃ - односвязная группа Ли с алгеброй Ли g, Z̃ - центр группы G̃, Ф̃ - такой автоморфизм группы G̃, что dФ̃ = φ и К&#&771; - множество всех неподвижных точек автоморфизма Ф. Для произвольной подгруппы S группы Z̃ положим K_s = {g ∈ G̃ |g^-1 Ф(g) ∈ S}. Г. с. р. п. М, связанные с (g, φ), совпадают с пространствами вида G/K, где G = G̃/S, К = К*/К* ∩ S, снабженными любой G-инвариантной метрикой. Здесь S пробегает все подгруппы группы Z̃, а K* пробегает все такие подгруппы в G̃, что K ⊂ K* ⊂ K_s.

Лит.: [1] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [2] Loos О., Symmetric spaces, v. 1-2, N.Y.-Amst., 1969.

А. С. Феденко.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.