ГЛАДКИЙ МОРФИЗМ

ГЛАДКИЙ МОРФИЗМ схем - обобщение на случай схем понятия семейства неособых алгебраических многообразий. В классич. случае морфизма комплексных алгебраич. многообразий это понятие сводится к понятию регулярного отображения (субмерсии) комплексных многообразий. Конечно представленный (локально) морфизм схем f : X → Y наз. гладким морфизмом, если f есть плоский морфизм и если для любой точки y ∈ Y слой f^-1(y) будет гладкой схемой (над полем k(у)). Схема X наз. гладкой схемой над схемой Y, или гладкой Y-cхемой, если структурный морфизм f : X → Y является Г. м.

Примером гладкой Y-схемы служит аффинное пространство Аⁿ_Y. Частный случай понятия Г. м. - этальный морфизм. Обратно, всякий Г. м. f : X → Y разлагается локально по X в композицию этального морфизма X → Аⁿ_Y и проекции Аⁿ_Y → Y.

Композиция Г. м. снова есть Г. м.; аналогично обстоит дело с произвольной заменой базы. Г. м. характеризуется своим дифференциальным свойством: плоский конечно представленный морфизм f : X → Y будет Г. м. тогда и только тогда, когда пучок относительных дифференциалов есть локально свободный пучок ранга dim_x f в точке х.

Понятие Г. м. аналогично понятию расслоения в смысле Серра в топологии. Напр., Г. м. комплексных алгебраич. многообразий является локально тривиальным дифференцируемым расслоением. В общем случае выполняется следующий аналог аксиомы о накрывающей гомотопии: для любой аффинной схемы Y', ее замкнутой подсхемы Y'₀, определяемой нильпотентным идеалом, и любого морфизма Y' → Y канонич. отображение Ноm_Y (Y', X) → Hom_Y (Y'₀, X) сюръективно.

Если f : X → Y есть Г. м., а локальное кольцо _Y,y точки у ∈ Y является регулярным (соответственно нормальным, приведенным), то таким же будет и локальное кольцо _X,x любой точки х ∈ Х с f(x) = y.

Лит.: [1] Grothendieck A., «Publ. math. IHES», 1967, t. 32; [2] Revêtements etales et groupe fondamental, В., 1971.

В. И. Данилов, И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.