ГЛАВНЫЙ ИДЕАЛ

ГЛАВНЫЙ ИДЕАЛ - идеал (кольца, алгебры, полугруппы или решетки), порождаемый нек-рым одним элементом а, т. е. наименьший идеал, содержащий элемент а.

Левый Г. и. L(а) кольца А, кроме самого элемента а, содержит все элементы вида

kа + nа;

соответственно, правый Г. п. R(а) содержит все элементы вида

аk + nа,

а двусторонний Г. и. L(a) - все элементы вида

na + ta + as + ∑_i[(k_iа)l_i + k'_i(а, l'_i)],

где k, t, s, k_i, k'_i, l_i, l'_i - произвольные элементы кольца K, а nа = а + ... + a (n слагаемых). В случае, когда К - кольцо с единицей, слагаемое nа может быть опущено. В частности, для алгебры А над полем

L(a) = aA, R(a) = Aa, J(a) = AaA.

В полугруппе S левый, правый и двусторонний идеалы, порожденные элементом а, равны соответственно

L(a) = S¹a, R(a) = aS¹, J(a) = S¹aS¹,

где S¹ - полугруппа, совпадающая с S, если S содержит единицу, и полученная из S внешним присоединением единицы - в противном случае.

Г. и. решетки L, порожденный элементом а, совпадает с множеством таких х, что х ≤ а; он обозначается обычно a^∇, [а] или [0, а], если решетка с нулем. Таким образом,

a^∇ = aL = {ах | х ∈ L}.

В решетке конечной длины все идеалы главные.

В. Н. Ремесленников, Т. С. Фофанова, Л. Н. Шеврин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.