ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ

ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ - неособая проективная модель аффинной кривой y² = f(x), где f(x) - многочлен без кратных корней, нечетной степени n (случай четной степени 2k сводится к случаю нечетной - (2k - 1)). Поле функций на Г. к. (поле гиперэллиптич. функций) есть квадратичное расширение поля рациональных функций; в этом смысле оно является простейшим полем алгебраич. функций после поля рациональных функций. Г. к. характеризуются условием существования одномерного линейного ряда g'₂ дивизоров степени 2, определяющего морфизм Г. к. на проективную прямую степени 2. Род Г. к. равен (n - 1)/2, поэтому для различных нечетных n Г. к. бирационально неэквивалентны между собой. При n = 1 получается проективная прямая, при n = 3 - эллиптич. кривая. По традиции кривые рода 0 или 1 к Г. к. не причисляются. На Г. к. рода g > 1 отношения регулярных дифференциальных форм порождают подполе рода 0 и это свойство вполне характеризует Г. к.

Лит.: [1] Шевалле К., Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной, пер. с англ., М., 1959; [2] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [3] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

В. Е. Воскресенский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.