НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ГИПЕРКОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО

ГИПЕРКОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО - элемент конечномерной алгебры с единицей над полем действительных чисел R (ранее называвшейся гиперкомплексной системой). Исторически Г. ч. возникли как обобщение комплексных чисел. Действия над комплексными числами соответствуют простейшим геометрич. преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению и их комбинациям). При попытках построить числа, к-рые играли бы для трехмерного пространства роль комплексных чисел для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию теории систем Г. ч.

Гиперкомплексная система ранга n получается введением умножения в n-мерном действительном пространстве ℝn, удовлетворяющего аксиомам алгебры над полем. Пусть 1 - единица гиперкомплексной системы и 1, i1, i2, ..., in-1 - некоторый базис пространства ℝn. Г. ч.

α̅ = а0 - a1i1 - ... - аnin

из гиперкомплексной системы U наз. сопряженным Г. ч.

α̅ = а0 + a1i1 + ... + аnin

Пусть U(2) = {u1 + u2e}, где u1, u12 ∈ U, а е - некоторый новый символ. Множество U(2) можно превратить в гиперкомплексную систему, определяя сложение формулой

(u1 + u2e) + (v1 + v2e) = (u1 + v1) + (u2 + v2)e

и умножение формулой

(u1 + u2e)(v1 + v2e) = (u1v1 - v̅2u2) + (v2u1 + u21)е.

Гиперкомплексная система U(2) наз. удвоением гиперкомплексной системы U.

Примеры гиперкомплексных систем: действительные числа, комплексные числа, кватернионы, Кэли числа (в этом перечне каждая следующая система получается из предыдущей удвоением). Другие примеры - системы двойных и дуальных чисел, Г. ч. вида

при n = 4, наз. числами Клиффорда-Липшица (эти Г. ч. являются элементами Клиффорда алгебр ранга 2n). Важным примером гиперкомплексных систем являются полные матричные алгебры над ℝ.

Иногда в определение системы Г. ч. включают требование ассоциативности умножения или отождествляют понятие алгебры и гиперкомплексной системы.

Лит.: [1] Кантор И. Л., Солодовников А. С., Гиперкомплексные числа, М., 1973; [2] Калужнин Л. А., Введение в общую алгебру, М., 1973.

Н. Н. Вильямc.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru